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1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设lim(x??x?2ax)?8,则a?___________. x?a(2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为
___________.
(3) 微分方程y???2y??2y?ex的通解为___________. (4) 函数u?ln(x?为___________.
y2?z2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3,?2,2)点方向的方向导数
?102???(5) 设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B??020?,则r(AB)?___________.
??103???
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知
(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分,则a等于 ( ) 2(x?y)(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设f(x)有二阶连续导数,且f?(0)?0,lim?x?0f??(x)?1,则 ( ) |x|(A) f(0)是f(x)的极大值 (B) f(0)是f(x)的极小值
(C) (0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点
(D) f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点
(3) 设an?0(n?1,2,?),且
an收敛,常数??(0,),则级数?(?1)n(ntan)a2n ?2nn?1n?1???? ( )
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与?有关
1
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(4) 设f(x)有连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??x0(x2?t2)f(t)dt,且当x?0
时,F?(x)与x是同阶无穷小,则k等于 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
a1(5) 四阶行列式
0a2b300b2a30b100a4的值等于 ( )
00b4 (A) a1a2a3a4?b1b2b3b4 (B) a1a2a3a4?b1b2b3b4
(C) (a1a2?bb12)(a3a4?b3b4) (D) (a2a3?b2b3)(a1a4?bb14)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1) 求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数. (2) 设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,?),试证数列?xn?极限存在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分
22S(2x?z)dydz?zdxdy,其中为有向曲面z?x?y(0?z?1),其??S法向量与z轴正向的夹角为锐角.
?u?x?2y,?2z?2z?2z?2z?0,求常数a,其(2) 设变换?可把方程62??2?0化简为
?u?v?x?x?y?y?u?x?ay中z?z(x,y)有二阶连续的偏导数.
五、(本题满分7分)
求级数
1的和. ?2nn?2(n?1)2?
六、(本题满分7分)
设对任意x?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于
1xf(t)dt,求f(x)的一般表达式. ?0x
七、(本题满分8分)
2
负常数,c是(0,1)内任一点,证明|f?(c)|?2a?
八、(本题满分6分)
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设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|?a,|f??(x)|?b,其中a,b都是非
b. 2设A?E???T,其中E是n阶单位矩阵,?是n维非零列向量,?T是?的转置,证明： (1) A?A的充要条件是?T??1；(2) 当?T??1时,A是不可逆矩阵.
九、(本题满分8分)
222已知二次型f(x1,x2,x3)?5x1?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2.
2(1) 求参数c及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)
(1) 设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由A和B的产品分别占60%和
40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是__________. (2) 设?、?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(12))的随机变量,则随机变量 2???的数学期望E(???)?__________.
十一、(本题满分6分.)
?是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布律为P???i??设?、
i=1,2,3,又设X?max(?,?),Y?min(?,?).
(1) 写出二维随机变量(X,Y)的分布律： X Y 1 2 3 1, 31 2 3 3
(2) 求随机变量X的数学期望E(X).
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1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln2
【解析】这是1型未定式求极限.
3axx?2ax3ax3?aa?x?a)?lim(1?)方法一： lim( ,
x??x?ax??x?a?
令
3a?t,则当x??时,t?0, x?a13ax3?aa)?lim(1?t)t?e, 则 lim(1?x??t?0x?a3ax3alimlimx?2axx??x?ax??1)?e?e?e3a. 即 lim(x??x?a由题设有e
3a1?8,得a?ln8?ln2.
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