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xx?2a2a?2a??2a??2a?1?lim1????1????x??e2axx??x?2a????x方法二：lim??lim??lim???a?e3a, ??xxx????(?a)e?x?a?x???1?a?x???a?aa???1??lim?1??x???x?x???x?由题设有e3a1?8,得a?ln8?ln2.
3(2)【答案】2x?2y?3z?0
???????n?OMO【解析】方法一：所求平面过原点与M0(6,?3,2),其法向量0??6,?3,2?；????平面垂直于已知平面4x?y?2z?8,它们的法向量也互相垂直：n?n0??4,?1,2?；
ijk?????????????由此, n//OM0?n0?6?32??4i?4j?6k.
4?12????取n?2i?2j?3k,则所求的平面方程为2x?2y?3z?0.
方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点M0(6,?3,2)的向量
?????????OM0??6,?3,2?,另一是平面4x?y?2z?8的法向量n0??4,?1,2?)平行的平面,
x即 6yz?32?0,即 2x?2y?3z?0.
4?12(3)【答案】ex(c1cosx?c2sinx?1)
【解析】微分方程y???2y??2y?ex所对应的齐次微分方程的特征方程为
r2?2r?2?0,解之得r1,2?1?i.故对应齐次微分方程的解为y?ex(C1cosx?C2sinx).
由于非齐次项e,??1不是特征根,设所给非齐次方程的特解为y(x)?ae,代入
?x*xy???2y??2y?ex得a?1(也不难直接看出y*(x)?ex),故所求通解为
y?ex(C1cosx?C2sinx)?ex?ex(C1cosx?C2sinx?1).
【相关知识点】① 二阶线性非齐次方程解的结构：设y(x)是二阶线性非齐次方程
*y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程
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y???P(x)y??Q(x)y?0的通解,则y?Y(x)?y*(x)是非齐次方程的通解.
② 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y(x),可用特征方程法求解：即y???P(x)y??Q(x)y?0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程
变为y???py??qy?0.其特征方程写为r2?pr?q?0,在复数域内解出两个特征根r 1,r2；分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y?C1erx1?C2er2x;
rx1(2) 两个相等的实数根r1?r2,则通解为y??C1?C2x?e;
?x(3) 一对共轭复根r1,2???i?,则通解为y?e?C1cos?x?C2sin?x?.其中C1,C2为常数.
③ 对于求解二阶线性非齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法,有结论如下：
?x*k?x如果f(x)?P则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 (x)e,y(x)?xQ(x)emmk?不是特征方程的根、是特征方的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而按
程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],则二阶常系数非齐次线性微分方程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解可设为
(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],
(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按??i?(或??i?)不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (4)【答案】
1 2??u?u?u,,,然后按方向导数的计算公式 【分析】先求方向l的方向余弦和
?x?y?z?u?u?u?u?cos??cos??cos?求出方向导数. ?l?x?y?z??????????【解析】因为l与AB同向,为求l的方向余弦,将AB??3?1,?2?0,2?1???2,?2,1? 6
?????AB1???2,?2,1???cos?,cos?,cos??. 单位化，即得 l????|AB|3将函数u?ln(x?
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y2?z2)分别对x,y,z求偏导数得
?u1??xAx?y2?z2?(1,0,1)1, 2?0,
(1,0,1)
?uy??yA(x?y2?z2)y2?z2?uz??zA(x?y2?z2)y2?z2
?(1,0,1)1, 2所以
?u?u?u?u?cos??cos??cos? ?lA?xA?yA?zA122111??0?(?)???. 233232 ?(5)【答案】2
1【解析】因为B?00220?10?0,所以矩阵B可逆,故r(AB)?r(A)?2.
?103【相关知识点】r(AB)?min(r(A),r(B)).若A可逆,则
r(AB)?r(B)?r(EB)?r[A?1(AB)]?r(AB).
从而r(AB)?r(B),即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)
【解析】由于存在函数u(x,y),使得 du?由可微与可偏导的关系,知
(x?ay)dxydy?, 22(x?y)(x?y)?ux?ay?uy??,, ?x(x?y)2?y(x?y)2 7
分别对y,x求偏导数,得
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?2ua(x?y)2?(x?ay)?2(x?y)(a?2)x?ay, ???x?y(x?y)4(x?y)3?2u?2y. ?3?y?x(x?y)?2u?2u?2u?2u由于与连续,所以,即 ??y?x?x?y?y?x?x?y(a?2)x?ay?2y?a?2, ?33(x?y)(x?y)故应选(D).
(2)【答案】(B)
【解析】因为f(x)有二阶连续导数,且limx?0f??(x)?1?0,所以由函数极限的局部保号性|x|可知,在x?0的空心领域内有
f??(x)?0,即f??(x)?0,所以f?(x)为单调递增. |x|又由f?(0)?0,f?(x)在x?0由负变正,由极值的第一充分条件,x?0是f(x)的极小值点,即f(0)是f(x)的极小值.应选(B).
【相关知识点】极限的局部保号性：设limf(x)?A.若A?0(或A?0)????0,当
x?x00?x?x0??时,f(x)?0(或f(x)?0).
(3)【答案】(A) 【解析】若正项级数
?an?1?n收敛,则
?an?1?2n也收敛,且当n???时,有
n????. lim(ntan)?limn???nn????n用比较判别法的极限形式,有
?tan?ntann????nlima2na2n???0.
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