初中数学竞赛辅导资料为2

初中数学竞赛辅导资料为

完全平方数和完全平方式

甲内容提要 一定义

1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.

例如，，，

4，都是完全平方数. 25在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.

2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.

如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如：

在有理数范围 , (－), －, 都是完全平方式.

在实数范围 （3）,

2, 也都是完全平方式.

二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定

. 整数的平方的末位数字只能是，，，，，.所以凡是末位数字为，，，的整数必不是平方数. . 若是完全平方数，且能被质数整除, 则它也能被整除.. 若整数能被整除，但不能被整除, 则不是完全平方数. 例如：能被整除，但不能被整除，所以不是完全平方数. 又如：能被整除，但不能被整除，所以不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内

如果 (≠)是完全平方式，则－且>； 如果 －且>；则 (≠)是完全平方式. 在有理数范围内

当－且是有理数的平方时，是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系

. 完全平方式（） 中

当, 都是有理数时, 取任何有理数，其值都是完全平方数；

当, 中有一个无理数时，则只有一些特殊值能使其值为完全平方数.

2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： , 当时，其值是完全平方数.

所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程(≠)中

① 若－是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则－是完全平方数. 2. 在整系数方程中

① 若－是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则－是整数的平方.

乙例题

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例. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.

证明：设五个连续整数为－, －, , , . 其平方和为.

那么＝（－）＋（－）＋＋（）＋（）

＝（）.

∵的个位数只能是，，，，， ∴的个位数只能是，，，，， ∴不能被整除. 而（）能被整除，

即能被整除，但不能被整除.

∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.

例 取什么实数时，（－）3m－ 是完全平方式？

解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得

?△＝0 当且仅当?时，（－）－ 是完全平方式

m?1?0?△，即（）－(－)(－).

解这个方程， 得 , . 解不等式 －> ， 得>.

?m?0.5或m?2即?

m?1?它们的公共解是 . 答：当时，（－）－ 是完全平方式. 例. 已知： ()()()()()()是完全平方式.

求证： .

证明：把已知代数式整理成关于的二次三项式，得 原式＝()

∵它是完全平方式， ∴△＝. 即 ()－(). ∴ －－－,

(－)(－)(－).

要使等式成立，必须且只需：

?a?b?0??b?c?0 ?c?a?0? 解这个方程组，得.

例. 已知方程－有两个整数解，求的非负整数解.

解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.

可设△ (为整数)， 即（－）－ (为整数)，

25?m2解得，.

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∵ 是非负整数，

2??25?m?0∴ ?

2??25?m是4的倍数由－≥， 得 m?5， 即－≤≤； 由－是的倍数，得 ±, ±, ±.

25?m2以 的公共解±, ±, ±，分别代入.

4求得 , , .

答：当, , 时，方程－有两个整数解

例5. 求证：当为整数时，方程()没有有理数根.

证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.

∵△＝（）－()＝（－）. 设－＝ (是整数).

由－＝，可知和是一奇一偶， 下面按奇偶性讨论＝＋能否成立. 当为偶数，为奇数时，

左边是的倍数，也是的倍数； 右边除以余，＋除以余.

∴等式不能成立.； 当为奇数，为偶数时， 左边除以余，除以余 右边是的倍数，＋除以余 ∴等式也不能成立.

综上所述，不论, 取何整数，＝＋都不能成立. ∴－不是整数的平方， （－）也不是整数的平方. ∴当为整数时，方程()没有有理数根

丙练习

1. 如果是整数，那么的个位数只能是＿＿＿＿.

2. 如果是奇数，那么－除以余数是＿＿，除以余数是＿＿＿，除以的余数是＿＿. 3. 如果不是的倍数，那么－ 除以余数是＿＿＿＿＿.

4. 一个整数其中三个数字是，其余的都是，问这个数是平方数吗？为什么？ 5. 一串连续正整数的平方，，，………，的和的个位数是＿＿.

（年全国初中数学联赛题）

6. 取什么值时，代数式－2m(－)－是完全平方式？ 7. 取什么正整数时，方程－的两个根都是整数？

8. , , 满足什么条件时,代数式(－)(－)－是一个完全平方式？ 9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：

① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和. 10. 一个四位数加上或减去都是平方数，试求这个四位数. 11. 已知四位数aabb是平方数，试求, .

12. 已知：是自然数且>. 求证：－不是完全平方数.

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13. 已知：整系数的多项式 是完全平方数，求整数和的值. 14. 已知：, 是自然数且互质，试求方程－

1()的自然数解. 2(年泉州市初二数学双基赛题)

.恰有个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( ) () () () ()

(年全国初中数学联赛题)

练习 . ，，，，， . ，， . 4. 不是平方数，因为能被整除而不能被整除 5. 。因为平方数的个位数是

（＋＋＋＋＋＋＋）×＋（＋＋＋＋＋＋＋） 即个位数为×＋ 6. ， . ，， . 且> . 都不是

2??A?B??x?38?A. ． ∵? －＝＝×××× ?……

2A?B????x?138?B. （）. ∵aabb?11?a0b是平方数， 是的倍数

∴可从??a?9?a?8?a?7?a?6?a?2中检验，得出答案. ??????b?2?b?3?b?4?b?5?b?912 用反证法，设－必是奇数， 设＝……

?a?12?a??1213 ? ?

b?6b??6??14 ?

?a?1 ,

?b?3167 / 4