高考数学专题（二）解析几何综合题解题思路案例分析

简解1：当直线l垂直于x轴时，可求得

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 求根公式 xA= f（k），xB = g（k） AP/PB = —（xA / xB） 得到所求量关于k的函数关系式 由判别式得出k的取值范围

所求量的取值范围 AP1??; PB5当l与x轴不垂直时，设A?x1,y1?,B(x2，y2)，直线l的方程为：y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得

?9k解之得 x1,22?4x2?54kx?45?0

??27k?69k2?5?. 29k?4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k?0的情形.

?27k?69k2?5?27k?69k2?5当k?0时，x1?，x2?， 229k?49k?4x1?9k?29k2?518k18AP所以 =1?=1???=

PBx29k?29k2?59k?29k2?59?29?522由 ??(?54k)?1809k?4?0, 解得 k?.

k2??25， 9所以 ?1?1?189?29?5k21??，

5综上 ?1?

AP1??. PB5

分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原

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因在于

xAP??1不是关于x1,x2的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有PBx2了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.

简解2：设直线l的方程为：y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k） AP/PB = —（xA / xB） 构造所求量与k的关系式 由判别式得出k的取值范围

关于所求量的不等式 ?9k则

2?4x2?54kx?45?0 （*）

??54k?x?x?,2??19k2?4 ?45?xx?.122?9k?4?x11324k2. 令??，则，???2?2?45k?20x2在（*）中，由判别式??0,可得 k?25， 9324k236?从而有 4?， 2545k?20所以 4???解得

1??2?36， 51???5. 51结合0???1得???1.

5AP1??. 综上，?1?PB5当前第 6 页共7页

点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.

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