uuuruuur椭圆C于不同的两点A,B,且OA?OB?0(O为坐标原点)
(1)求椭圆C的方程.
(2)讨论3m?2k是否为定值?若为定值,求出该定值,若不是请说明理由. 21. 设函数f(x)??alnx?x?ax(a?R). (1)试讨论函数f(x)的单调性;
(2)设?(x)?2x?(a?a)lnx,记h(x)?f(x)??(x),当a?0时,若方程h(x)?m(m?R)有两个不相等的实根x1,x2,证明h'(22222x1?x2)?0. 2请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22.选修4-4:坐标系与参数方程
?x?3??cost,C在直角坐标系xOy中,曲线1:?(t为参数,a?0),在以坐标原点为极点,x轴的非
?y?2??sint负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:??4sin?.
(1)试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程,并指出两曲线有公共点时a的取值范围; (2)当a?3时,两曲线相交于A,B两点,求|AB|. 23. 选修4-5:不等式选讲. 已知函数f(x)?|2x?1|?|x?1|.
(1)在下面给出的直角坐标系中作出函数y?f(x)的图象,并由图象找出满足不等式f(x)?3的解集;
(2)若函数y?f(x)的最小值记为m,设a,b?R,且有a?b?m,试证明:
221418??. a2?1b2?17参考答案及解析 理科数学(Ⅱ)
一、选择题
1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12:CD
二、填空题
13.-8 14.6?25?127?e? 15.[,] 16.[3,33) 2254三、解答题
1, 21得2S2?S1?1,即2a1?2a2?a1?1,解得a2?.
417.解:(1)当n?2时,由2Sn?Sn?1?1及a1?又由2Sn?Sn?1?1,① 可知2Sn?1?Sn?1,② ②-①得2an?1?an,即
an?11?(n?2). an2且n?1时,
a21111?适合上式,因此数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,故an?n(n?N*) a122222*(2)由(1)及bn?log1an(n?N),
可知bn?log1()?n,
212n所以
1111???, bnbn?1n(n?1)nn?1111111111n??L??[(1?)?(?)?L?(?. )]?1??bnb2b2b3bnbn?1223nn?1n?1n?1故Tn?18.解:(1)因为底面ABCD为菱形,所以AC?BD,
又平面BDEF?底面ABCD,平面BDEFI平面ABCD?BD, 因此AC?平面BDEF,从而AC?EF. 又BD?DE,所以DE?平面ABCD,
由AB?2a,DE?2BF?22a,?ABC?120?, 可知AF?4a2?2a2?6a,BD?2a,
EF?4a2?2a2?6a,AE?4a2?8a2?23a,
从而AF2?FE2?AE2,故EF?AF. 又AFIAC?A,所以EF?平面AFC. 又EF?平面AEF,所以平面AEF?平面AFC.
(2)取EF中点G,由题可知OG//DE,所以OG?平面ABCD,又在菱形ABCD中,OA?OB,所
uuuruuuruuur以分别以OA,OB,OG的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系O?xyz(如图示),
则O(0,0,0),A(3a,0,0),C(?3a,0,0),E(0,?a,22a),F(0,a,2a),
uuur所以AE?(0,?a,22a)?(3a,0,0)?(?3a,?a,22a),
uuuruuurAC?(?3a,0,0)?(3a,0,0)?(?23a,0,0),EF?(0,a,2a)?(0,?a,22a)?(0,2a,?2a). uuur由(1)可知EF?平面AFC,所以平面AFC的法向量可取为EF?(0,2a,?2a). r设平面AEC的法向量为n?(x,y,z),
ruuur??n?AE?0,???3x?y?22z?0,??y?22z,则?ruuu即即令z?2,得y?4, r??x?0,????x?0,?n?AC?0,?r所以n?(0,4,2).
ruuurruuurn?EF6a3uuur?从而cos?n,EF??r. ?3|n|?|EF|63a故所求的二面角E?AC?F的余弦值为3. 3
19.解:(1)从条形图中可知这100人中,有56名学生成绩等级为B,
5614?, 1002514?448. 则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有800?25所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为
(2)这100名学生成绩的平均分为
1(32?100?56?90?7?80?3?70?2?60)?91.3, 100因为91.3?90,所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.
(3)由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本,其中A级4个,B级7个,从而任意选取3个,这3个为A级的个数?的可能值为0,1,2,3.
0312C4C7C4C7287则P(??0)?,, ?P(??1)??33C1133C11552130C4C714C4C4. P(??2)?3?,P(??3)?37?C1155C11165因此可得?的分布列为:
则E(?)?0?72814412?1??2??3??. 33555516511c2222222?,所以a?2c?2(a?b),即a?2b,① a220.解:(1)由题意可知
又点P(2323,)在椭圆上,所以有2?2?1,② 224a4b22由①②联立,解得b?1,a?2,
x2?y2?1. 故所求的椭圆方程为2uuuruuur(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由OA?OB?0,
可知x1x2?y1y2?0.
?y?kx?m,?联立方程组?x2 2??y?1,?2消去y化简整理得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0,
2222m2?24km由??16km?8(m?1)(1?2k)?0,得1?2k?m,所以x1?x2??,x1x2?,③ 221?2k1?2k222222
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