圆锥曲线的定点、定值和最值问题

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圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题

本节目标：会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建

立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.

一、主要知识及主要方法：

1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。

2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。

3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.

二、精选例题分析

【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?x2上异于坐标原点O的两不同

动点A、B满足AO?BO．

（Ⅰ）求△AOB得重心G的轨迹方程；

（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；

若不存在，请说明理由．

y A B

?x2y26???1上的两个动点P,Q及定点M?1,【举例2】已知椭圆 ，F为椭圆的左焦点，且PF，???42?2?MF，QF成等差数列.?1?求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；

O x ?2?设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标.

2【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线x?4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且

uuuruuurAF??FB（??0）．过A、B两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5xA，0.5xB），设其交点为

M。

uuuuruuur（Ⅰ）证明FM?AB为定值；

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（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S?f(?)的表达式，并求S的最小值．

问题4．直线m：y?kx?1和双曲线x2?y2?1的左支交于A、B两点，直线l过点P??2,0?和线

段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围.

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（四）课后作业：

x2y21.已知椭圆2?2?1（a?b?0）的右焦点为F，过F作直线与椭圆相交于A、B两点，若有

abBF?2AF，求椭圆离心率的取值范围.

2.过抛物线y2?2px的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB， y 求证：AB交抛物线的对称轴上一定点. A O x B Word资料.

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y2x2?1的上支上有三点A?x1,y1?， 3.如图，在双曲线?1213y g CgF gAC 1 1 BA 1 g 1 ggg g g x A2 B2 C2 B?x2,6?，C?x3,y3?，它们与点F?0,5?的距离成等差数列. gB ?1?求y1?y3的值；?2?证明：线段AC的垂直平分线经过 某一定点，并求此点坐标.

O

（六）走向高考：

x2?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C21.（05重庆）已知椭圆C1的方程为4的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线C2的方程；

2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足OA?OB?6（其中O为原点），求k的取值范围.

（Ⅱ）若直线l：y?kx?

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