全国初中数学竞赛辅导(初1)第19讲几何图形的计数问题-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题

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第十九讲* 几何图形的计数问题

在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．

例1 如图1－65所示，数一数图中有多少条不同的线段？

解 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：

(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；

(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；

(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；

(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；

(5)以E为左端点的线段只有EF一条．

所以，不同的线段一共有

5+4+3+2+1=15(条)．

一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为

n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2

例2 图1－66中有多少个三角形？

解 以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，

△OAE，△OAF共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE， △OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE为一边的三角形有△OEF一个．所以，共

有三角形

5+4+3+2+1=15(个)．

说明 其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.

例3(1)图1－67中一共有多少个长方形？

(2)所有这些长方形的面积和是多少？

解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有

1+2+3+4=10(条)．

同样，宽的一边上不同的线段也有10条．

所以，共有长方形

10×10=100(个)．

(2)因为长的一边上的10条线段长分别为

5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，

宽的一边上的10条线段长分别为

2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．

所以，所有长方形面积和为

(5×2+5×6+…+5×3)

+(17×2+17×6+…+17×3)

+…+(1×2+1×6+…+1×3)

=(5+17+…+1)×(2+6+…+3)

=

144×86=12384．

例4 图1－68中共有多少个三角形？

解 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个(即△ABC)，

第二大的三角形有1+2=3(个)，

第三大的三角形有1+2+3=6(个)，

第四大的三角形有1+2+3+4=10(个)，

第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)，

最小的三角形有

1+2+3+4+5+6+3=24(个)．

我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是21个而是24个．

于是尖向上的三角形共

1+3+6+10+15+24=59(个)．

图中共有三角形

59×2=118(个)．

例5 图1－69中有多少个等腰直角三角形？

解 图1－69中有

5×5+4×4=41

个点．在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数．因此，共有等腰直角三角形

4×8+5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1