12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，
AC的中点I是△ABD的内心. 求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线；
（2）AB+AD = 2BD.
13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当
a?2012
时，求a的最小值.
13（乙）．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150?？并说明理由．
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14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2， ，x2012，满足
x1?x2??x2012，且
12??x1x2?2012?n. x201214（乙）．将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c （可以相同），使得ab?c，求n的最小值．
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参考解答
一、选择题
1(甲) .C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
b?a?0?c，且b?c，
所以 a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a．
1（乙）．B
解：1?2?113?a?1?2?111?2?1?11?1??1?2?1?2．
2?12?2?12（甲）．D
解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个
交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
2（乙）．B
解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤(x?1)2?(y?1)2≤2. 因为x，y均为整数，所以有
22??(x?1)?0，??(x?1)?0， ? ?22(y?1)?0；(y?1)?1；????22??(x?1)?1，??(x?1)?1， ? ?22(y?1)?0；(y?1)?1.????解得
?x?1，?x?1，?x?1， ? ? ?y?2；y?1；y?0；????x?0，?x?0， ? ?y?1；y?0；???x?0，?x?2，?x?2， ? ? ?y?2；y?1；y?0；????x?2， ?y?2.?以上共计9对. （x，y）3（甲）．D
解：由题设知，1?a?1?a?b?1?2a?b，所以这四个数据的平均数为
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1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b?44，
中于
位数为 是
(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b， ?244?4a?2b3?4a?2b1??. 4443（乙）．B
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE，
∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE. 又因为?ADC?30?，所以?ADE?90?. 在Rt△ADE中，AE?5，AD?3， 于是DE=4（甲）．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得
?x?2?n(y?2)， ?y?n?2(x?n)，?AE2?AD2?4，所以
CD = DE = 4.
消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =因为
(2y?7)?1515?1?2y?72y?7.
15为正整数，所以2y?72y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别
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为14，7，6，7．
4（乙）．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为?q?0，故方程的根为一正一负．由二次函数y?x2?px?q的图象知，当x?3时，y?0，所以32?3p?q?0，即 3p?q?9. 由于p，q都是正整数，所以p?1，1≤q≤5；或 p?2，1≤q≤2，此时都有??p2?4q?0. 于是共有7组（p，q）符合题意．
5（甲）．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以
p0?98910，因此p3最大． ，p1?，p2?，p3?363636365（乙）．C
解：因为a?b?ab?1?(a?1)(b?1)，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则
11x?1?(1?1)(?1)(?1)231(?1)， 100解得 x?1?101，x?100．
二、填空题 6（甲）．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 =
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