于是A(0，?8)，B(6，0)，C(?6，0)． 设点D的坐标为(m，n)．
由S△COE?S△ADE，得S△CDB?S△AOB． 所以
1111BC?n?AO?BO，?12(?n)??8?6． 2222解得 n??4．
因此D为AB的中点，点 D的坐标为(3，?4)．
因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，
8所以点E的坐标为(0，（也可由直线CD交y轴于点E来求得.） ?)．
设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y?a(x?6)(x?6)． 将点E的坐标代入，解得a =
2． 273
228x?． 273故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y?
12（甲）． 证明：连接BD，因为OB为
O1的
直径，所以?ODB?90?．又因为DC?DE，所以△CBE是等腰三角形．
…………（5分）
设BC与O1交于点M，连接OM，则?OMB?90?．又因为OC?OB，所以
?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F．
…………（10分）
又因为?BOC，?DO1F分别是等腰△BOC，等腰△DO1F的顶角，所以
△BOC∽△DO1F．
…………（15分）
12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等
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的性质知：?CID??IAD??IDA，
?CDI??CDB??BDI??BAC??IDA??IAD??IDA．
所以?CID??CDI， CI = CD． 同理，CI = CB ．
故点C是△IBD的外心．
连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC， 所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．
故OI是△IBD外接圆的切线． （2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F． 由BC?CD，知OC⊥BD．
因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE．所以BF = AE．
又因为I是△ABD的内心，所以AB?AD?BD?2AE?BD?BD?2BF?BD． 故AB?AD?2BD．
也可由托勒密定理得：AB?CD?AD?BC?AC?BD，再将AC?2BC?2CD代入即得结论AB?AD?2BD。
13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是自然数）. 因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2， 所以 (2a－m)2－4n2 = m2，
(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.
…………（5分）
（1）当n?1时，因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2n?m 2，2a－m－2n?1.
解得 于是
(m?1)2a?4m2?1，n?.
4
2（m?1）. b= a－m?4
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…………（10分）
又
(m?1)2a≥2012，即
4≥2012.
(89?1)2此时，a≥
4又因为m是素数，解得m≥89. =2025.
当a?2025时，m?89，b?1936，n?1980.
此时，a的最小值为2025.
（2）当n?0时，因为a?2012，所以b?0，从而得a的最小值为2017（素数）。
综上所述，所求的a的最小值为2017。……（15分） 13（乙）.解：设凸n边形最多有k个内角等于150°，则每个150°
内角的外角
都等于30°，
而凸n边形的n个外角和为360°，所以k?360?12，只有当n?12时，
30k才有最大值12. …………（5分）下面我们讨论n?12时的情况： （1）当n?12时，显然，k的值是11；
（2）当n?3,4,5,6,7时，k的值分别为1，2，3，4，5；
（3）当n?8,9,10,11时，k的值分别为7，8，9，10. …………（10分）
综上所述，当3?n?7时，凸n边形最多有n?2个内角等于150°；当8?n?11时，凸n边形最多有n?1个内角等于150°；当n?12时，凸n边形最多有12个内角等于150°；当n?12时，凸n边形最多有11个
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内角等于150°。. ……（15分）
14（甲）．解：由于x1，x2， ，x2012都是正整数，且x1?x2?所以 x1≥1，x2≥2，…，x2012≥2012．
?x2012，
于是
n?12??x1x2?2012≤1?2?x201212?2012?2012． 2012…………（5分）
当n?1时，令x1?2012，x2?2?2012， ，x2012?2012?2012，则
12??x1x2?2012?1. x2012…………（10分）
当n?k?1时，其中1≤k≤2011，令
x1?1，x2?2， ，xk?k，
xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2)，x2012?(2012?k)?2012，则
12??x1x2?20121?k?(2012?k)??k?1?n． x20122012?k
综上，满足条件的所有正整数n为1， 2， ， 2012．
…………（15分）
14（乙）.解：当n?216?1时，把2， 3， ，n分成如下两个数组：
3， ，2 2?1， ， 2?1?和?4， 5， ， 2?1?． ?2，，2）?2 在数组?2， 3， ，2 2?1， ， 2?1?中，由于3?2（881688816388216?1，
所以其中不存在数a，b，c，使得ab?c．
在数组?4， 5， ， 28?1?中，由于44?28?1， 所以其中不存在数a，b，c，使得ab?c．
所以，n?216．
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下面证明当n?216时，满足题设条件．
不妨设2在第一组，若22?4也在第一组，则结论已经成立．故不妨设22?4在第二组． 同理可设44?28在第一组，(28)2?216在第二组．
b?8，c?28，此时此时考虑数8．如果8在第一组，我们取a?2，b?8，c?216，此时ab?c． ab?c；如果8在第二组，我们取a?4，综上，n?216满足题设条件． 所以，n的最小值为216．
（注：也可以通过考虑2，4，到n最小值为65536．）
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16，256，65536的分组情况得
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