高考专题突破三 高考中的数列问题 第1课时 等差、等比数列与数列求和
题型一 等差数列、等比数列的交汇
例1 记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 解 (1)设{an}的公比为q.
??a1?1＋q?＝2，
由题设可得? 2
?a1?1＋q＋q?＝－6.?
解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为an＝(－2)n. (2)由(1)可得
n1
a1?1－qn?2n2Sn＝＝－＋(－1). 331－q
＋
24
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n
32?2
＝2?－＋?－1?n＝2Sn，
3??3
n＋1
n＋3
－2n2
3
＋
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
思维升华 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．
跟踪训练1 (2019·桂林模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比． 解 (1)设数列{an}的公差为d. 2S3＝S1＋1＋S4，??2
由题意可知?a2＝a1a5，
??d≠0，
1
???a1＝1，?a1＝1，整理得?即?∴an＝2n－1.
?d＝2a1，???d＝2，
(2)由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2， ∴S4＝16，S6＝36， 又
362S4Sn＝S6，∴n2＝
2
16
＝81，
S69∴n＝9，公比q＝＝.
S44题型二 数列的求和
命题点1 分组求和与并项求和
11?例2 (2018·吉大附中模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2??a＋a?，
1
2
11?a3＋a4＝32??a＋a?.
3
4
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 则an＝a1qn1，且an>0，
－
?由已知得?
?1＋1?，aq＋aq＝32??aqaq?1
1
12
13
121311＋?，a1＋a1q＝2??aaq?
22
???a1q?q＋1?＝2?q＋1?，?a1q＝2，化简得?25即?25
?a1q?q＋1?＝32?q＋1?，???a1q＝32，
又∵a1>0，q>0，∴a1＝1，q＝2， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n1.
－
n1
(2)由(1)知bn＝a2＋n－1， n＋log2an ＝4
－
∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n－1)
－
4n－1n?n－1?4n－1n?n－1?＝＋＝＋.
2324－1命题点2 错位相减法求和
1
例3 (2018·大连模拟)已知数列{an}满足an≠0，a1＝，an－an＋1＝2anan＋1，n∈N*.
3
?1?
(1)求证：?a?是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
?n?
2
2n
(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
an11
解 (1)由已知可得，－＝2，
an＋1an
?1?
∴?a?是首项为3，公差为2的等差数列， ?n?
11∴＝3＋2(n－1)＝2n＋1，∴an＝. an2n＋1(2)由(1)知bn＝(2n＋1)2n，
∴Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)2n1＋(2n＋1)2n，
－
2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)2n＋(2n＋1)·2n1，
＋
两式相减得，－Tn＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)2n1.
＋
8－2×2n×2＋＝6＋－(2n＋1)2n1
1－2＝－2－(2n－1)2n1，
＋
∴Tn＝2＋(2n－1)2n1.
＋
命题点3 裂项相消法求和
例4 在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
?an?
(1)求证：数列?n?是等差数列；
??
?1?
(2)求数列?a?的前n项和Sn.
?n?
an＋1an(1)证明 nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n的两边同时除以n(n＋1)，得－＝2(n∈N*)，
n＋1n
?an?
所以数列?n?是首项为4，公差为2的等差数列．
??
an(2)解 由(1)，得＝2n＋2，
n所以an＝2n2＋2n，
1111?n＋1?－n1?1
故＝2＝·＝·n－n＋1?， an2n＋2n2n?n＋1?2??11??1111
1－?＋?－?＋…＋?n－所以Sn＝??2??2??23??n＋1?? 11n
＝?1－n＋1?＝2??2?n＋1?.
思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息．
(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂
3
项相消法等．
n＋11
跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an(n∈N*)．
22n
?an?
①证明：数列?n?是等比数列；
??
②求数列{an}的通项公式与前n项和Sn. n＋11
①证明 ∵a1＝，an＋1＝a，
22nnan当n∈N*时，≠0，
n
a11an＋1an1又＝，∶＝(n∈N*)为常数， 12n＋1n2
?an?11
∴?n?是以为首项，为公比的等比数列．
22???an?11
②解 由?n?是以为首项，为公比的等比数列，
22??
an1?1?n－1?1?n. 得＝·，∴a＝n·n
?2?n2?2?1?1?2＋3·?1?3＋…＋n·?1?n， ∴Sn＝1·＋2·?2??2??2?21?1?2＋2·?1?3＋…＋(n－1)?1?n＋n·?1?n＋1， Sn＝1·?2??2??2??2?2
1?1?n＋1
－?2?21111?1?2?1?3＋?n－n·??n1＝?1?n＋1， ∴两式相减得Sn＝＋?2?＋?2?＋…＋?－n·?2??2??2?2211－21?n－1
?1?n ∴Sn＝2－?－n·?2??2??1?n. ＝2－(n＋2)·?2?
?1?n，Sn＝2－(n＋2)·?1?n. 综上，an＝n·?2??2?(2)(2018·三明质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a2 n＋3an＋2(t∈R)．①求数列{an}的通项公式；
1??
②若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列?2b＋7n?的前n项和Tn.
?n?解 ①因为a1＝1，且(t＋1)Sn＝a2n＋3an＋2， 所以(t＋1)S1＝a21＋3a1＋2，所以t＝5.
所以6Sn＝a2n＋3an＋2. (ⅰ) 当n≥2时，有6Sn－1＝a2n－1＋3an－1＋2， (ⅱ)
4
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