第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题
[对应学生用书P48]
在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．
问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？
提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．
问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ 提示：一些与正整数n有关的问题．
数学归纳法
一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果 (1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；
(2)假设当n＝k(k∈N，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确． 那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．
数学归纳法的两个步骤之间的联系：
第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得不出正确的结论，因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．
[对应学生用书P48]
*
1
用数学归纳法证明恒等式 [例1] 用数学归纳法证明： 111111111－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 2342n－12nn＋1n＋22n[思路点拨] 等式的左边有2n项，右边共有n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左右两边的首项不同．因此，从n＝k到n＝k＋1时要注意项的合并．
11[精解详析] (1)当n＝1时，左边＝1－＝，
221
右边＝，命题成立．
2
(2)假设当n＝k时命题成立，即
111111111－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 2342k－12kk＋1k＋22k那么当n＝k＋1时，
11111111111左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
2342k－12k2k＋12k＋2k＋1k＋22k2k＋11
2k＋2
＝
11111＋＋…＋＋＋. k＋2k＋32k2k＋12k＋2
11111
＋＋…＋＋＋， k＋2k＋32k2k＋12k＋2
右边＝
左边＝右边，
上式表明当n＝k＋1时命题也成立．
由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立．
[一点通] (1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(2)证明n＝k＋1时成立，必须用到假设n＝k成立的结论．
1．用数列归纳法证明：当n∈N时，
－1＋3－5＋ … ＋(－1)(2n－1)＝(－1)·n. 证明：(1)当n＝1时，左边＝－1，右边＝－1， 所以左边＝右边，等式成立．
nn*
2
(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N)时等式成立， 即－1＋3－5＋ … ＋(－1)(2k－1)＝(－1)·k. 那么当n＝k＋1时，
－1＋3－5＋ … ＋(－1)(2k－1)＋(－1)＝(－1)·k＋(－1)＝(－1)＝(－1)＝(－1)
k＋1kk＋1
kk＋1
kk*
·(2k＋1)
(2k＋1)
k＋1
(－k)＋(－1)(2k＋1－k) (k＋1)
(2k＋1)
k＋1
k＋1
这就是说n＝k＋1时等式也成立， 由(1)(2)可知，对任何n∈N等式都成立． 2．用数学归纳法证明：
1－2＋3－4＋…＋(2n－1)－(2n)＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1－2＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3， 所以左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k时等式成立，
即1－2＋3－4＋…＋(2k－1)－(2k)＝－k(2k＋1)成立． 则当n＝k＋1时，
左边＝1－2＋3－4＋…＋(2k－1)－(2k)＋[2(k＋1)－1]－[2(k＋1)] ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)－(2k＋2) ＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)
＝(k＋1) [2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]＝右边， 所以当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立．
用数学归纳法证明不等式 [例2] 求证：
1115*
＋＋…＋>(n≥2，n∈N)． n＋1n＋23n6
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
*
[思路点拨] 运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明当n＝k＋1时，如何进行不等式的变换是关键．另外，要注意本题n的初始值为2.
[精解详析] (1)当n＝2时，
1111575
左边＝＋＋＋＝>，不等式成立．
3456606
3
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N)时不等式成立， 即
1115＋＋…＋>， k＋1k＋23k6
*
则当n＝k＋1时， 1
＋
k＋1＋1＝
11111
＋…＋＋＋＋
k＋1＋23k3k＋13k＋23k＋3
111?1＋1＋1
＋＋…＋＋?k＋1k＋23k?3k＋13k＋23k＋3
－
1?5
>＋?k＋1?6
?1＋1＋1－1?>5＋?3×1－1?＝5，
?3k＋13k＋23k＋3k＋1?6?3k＋3k＋1?6????
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)可知原不等式对一切n≥2，n∈N都成立．
[一点通] 利用数学归纳法证明与n有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意：
(1)证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；
(2)与n有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等．
3．用数学归纳法证明不等式
11113
＋＋ … ＋＞的过程中，由n＝k推导n＝n＋1n＋2n＋n24
*
k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．
解析：n＝k，左边＝
111＋＋ … ， k＋1k＋2k＋kn＝k＋1时，
左边＝＝＝
1111
＋＋ …＋ k＋2k＋3k＋1＋kk＋1＋k＋1
11
－ k＋1k＋1.
11111
＋＋＋ …＋ ＋＋k＋1k＋2k＋3k＋k2k＋12111
＋＋ … ＋＋k＋1k＋2k＋k1
2k＋1
2k＋2
1
2k＋1
2k＋2
答案：
4
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