高考数学二轮复习专题七数学思想方法第1讲函数与方程思想数形结合思想练习

即k(4m－1)＋(2m－2)＝0.

112－2m22

当m＝时，上式不成立；当m≠时，k＝2，

444m－1

2

2

222

由(*)式，得k＞2m－2， 2－2m又k≠0，所以k＝2＞0.

4m－1

2

2

22

11

解得－1＜m＜－或＜m＜1.

22

1??1??综上，所求m的取值范围为?－1，－?∪?，1?. 2??2??

11.设函数f(x)＝ax－3ax，g(x)＝bx－ln x(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行.

(1)求b的值；

??f（x），x≤0，2

(2)若函数F(x)＝?且方程F(x)＝a有且仅有四个解，求实数

?g（x），x＞0，?

3

2

a的取值范

围.

解 函数g(x)＝bx－ln x的定义域为(0，＋∞)， (1)f′(x)＝3ax－3a?f′(1)＝0，

2

2

g′(x)＝2bx－?g′(1)＝2b－1， x1

依题意得2b－1＝0，所以b＝.

21

(2)x∈(0，1)时，g′(x)＝x－＜0，

1

x即g(x)在(0，1)上单调递减，

x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递

x1

增，所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝；

2当a＝0时，方程F(x)＝a不可能有四个解；

当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，

2

1

x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，

即f(x)在(－1，0)上单调递增，

所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a， 又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F(x)＝a不可能有四个解. 当a＞0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，

2

即f(x)在(－∞，－1)上单调递增，

x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，

即f(x)在(－1，0)上单调递减，

所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a. 又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(2)所求，

122

从图(2)看出，若方程F(x)＝a有四个解，则＜a＜2a，

2得

2

＜a＜2， 2

所以，实数a的取值范围是?

?2?

，2?. ?2?