一、设X、Y是两个相互统计独立的二元随机变量，其取-1或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z，取Z=YX（一般乘积）。试计算：
1.H（Y）、H（Z）； 2.H（YZ）； 3.I（X;Y）、I（Y;Z）； 二、如图所示为一个三状态马尔科夫信源的转移概率矩阵
1. 绘制状态转移图； 2. 求该马尔科夫信源的稳态分布；
3. 求极限熵；
三、在干扰离散对称信道上传输符号1和0，已知P（0）=1/4,P(1)=3/4,试求：
1. 信道转移概率矩阵P 2.信道疑义度 3.信道容量以及其输入概率分布 四、某信道的转移矩阵P???0.60.30.10?，求信道容量，最佳输入概率分布。 ??0.30.600.1?五、求下列各离散信道的容量（其条件概率P(Y/X)如下：）
六、求以下各信道矩阵代表的信道的容量
答案
一、设X、Y是两个相互统计独立的二元随机变量，其取-1或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z，取Z=YX（一般乘积）。试计算：
1.H（Y）、H（Z）； 2.H（XY）、H（YZ）； 3.I（X;Y）、I（Y;Z）； 解：1. H（Y）=-111??1P（y）logP（y）??log?log=1bit/符号 ?ii??2222??i?12Z=YX而且X和Y相互独立
（Z1=1）=P(Y=1)?P(X?1)?P(Y??1)?P(X??1)= ? P11111???? 2222211111P（Z2=-1）=P(Y=1)?P(X??1)?P(Y??1)?P(X?1)= ????
22222故H(Z)= ?
?P(z)logP(z)=1bit/符号
i?1i2i2.从上式可以看出:Y与X的联合概率分布为:
P(Y,Z) Z=1 Z=-1 Y=1 0.25 0.25 Y=-1 0.25 0.25 H(YZ)=H(X)+H(Y)=1+1=2bit/符号 3.
X与Y相互独立，故H(X|Y)=H(X)=1bit/符号
?I（X;Y）=H(X)-H(X|Y)=1-1=0bit/符号
I(Y;Z)=H(Y)-H(Y|Z)=H(Y)-[H(YZ)-H(Z)]=0 bit/符号
二、如图所示为一个三状态马尔科夫信源的转移概率矩阵
2. 绘制状态转移图； 2. 求该马尔科夫信源的稳态分布； 解：1.状态转移图如右图 2.由公式p(Ej)?3. 求极限熵；
?P(E)P(Eii?13j|Ei),可得其三个状态的稳态概率为：
111?P(E)?P(E)?P(E)?P(E3)?3112?P(E)?2241??711??2?P(E2)?P(E2)?P(E3)???P(E2)? 22?7??112?P(E3)?P(E1)?P(E3)?P(E)?243??7??P(E)?P(E)?P(E)?1123?
3.其极限熵:
3112112111H?= -?P（Ei）H（X|Ei）=?H（，0，）+?H（，，0）+?H（，，）7227227424i?1
3228=?1+?1+?1.5=bit/符号7777
3
三、在干扰离散对称信道上传输符号1和0，已知P（0）=1/4,P(1)=3/4,试求：
2. 信道转移概率矩阵P 2.信道疑义度 3.信道容量以及其输入概率分布
0 0.9 0.1 0.1 0 1 0.9 1 解：1.该转移概率矩阵为 P=??0.90.1? ??0.10.9? 2.根据P（XY）=P（Y|X）?P（X），可得联合概率
P（XY） X=0 X=1 P(Y=i) Y 9/40 3/40 12/40 Y 1/40 27/40 28/40 由P（X|Y）=P(X|Y)/P(Y)可得
P(X|Y) X=0 X=1 H(X|Y)=-
Y=0 3/4 1/4 Y=1 1/28 27/28 （x|y）=0.09+0.12+0.15+0.035=0.4bit/符号 ?P(xy)logPijiji，j 3.该信道是对称信道，其容量为：
C=logs-H=log2-H（0.9,0.1）=1-0.469=0.531bit/符号
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