4.4万有引力与航天

例1 (2012·福建理综·16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为 mv2

A. GNNv2

C. Gm

mv4B. GNNv4D. Gm

( )

解析 设卫星的质量为m′

Mm′v2

由万有引力提供向心力，得G2＝m′

RRv2

m′＝m′g

R

① ②

由已知条件：m的重力为N得 N＝mg

2

③

mvN

由③得g＝，代入②得：R＝

mNmv4

代入①得M＝，故B项正确．

GN答案 B

突破训练1 (2011·江苏·7)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则 v3TA．恒星的质量为 2πG4π2v3

B．行星的质量为 GT2vT

C．行星运动的轨道半径为 2π2πv

D．行星运动的加速度为

T答案 ACD

2

v2rv3TvGMmmv4π2

解析 由2＝＝m2r得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝

rrTG2πGω

( )

vvT2π

＝＝，C对；a＝ω2r＝ωv＝v，D对． 2π2πTT考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律

v2Mm4π2r2

由万有引力提供向心力，G2＝ma向＝m＝mωr＝m2.

rrT2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

3．极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．

深化拓展 (1)卫星的a、v、ω、T是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定． (2)卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．

例2 (2011·天津·8)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的 A．线速度v＝

GM R

( )

B．角速度ω＝gR Gm

D．向心加速度a＝2

R

GM，A对；ω＝g/R，B错；R

C．运行周期T＝2π

2

R g

vGMm4π22

解析 由2＝m＝mωR＝m2R＝mg＝ma得v＝

RRTT＝2π

RGM

，C对；a＝2，D错． gR

答案 AC

人造天体运行参量的分析与计算方法

分析与计算思路是将人造天体的运动看做绕中心天体做匀速圆周运动，它受 到的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律和圆周运动的规律建立动力学方程， v2Mm4π2r2

G2＝ma＝m＝mωr＝m2，以及利用人造天体在中心天体表面运行时，忽略 rrT中心天体的自转的黄金代换公式GM＝gR2.

突破训练2 如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周 运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，如图2所示． 若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1；金星 转过的角度为θ2(θ1、θ2均为锐角)，则由此条件可求得

( )

A．水星和金星绕太阳运动的周期之比 B．水星和金星的密度之比

图2

C．水星和金星到太阳的距离之比

D．水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比 答案 ACD

Δθω1θ12πT1θ2GMm4π2

解析 由ω＝知，＝，又因为ω＝，所以＝，A对；由2＝mr2知r3

Δtω2θ2TT2θ1rTGMT22

＝2，既然周期之比能求，则r之比同样可求，C对；由a＝rω知，向心加速度之4π比同样可求，D对；由于水星和金星的质量未知，故密度不可求，B错．

例3 (2011·广东·20)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是 3GMT2A．卫星距地面的高度为

4π2B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 Mm

C．卫星运行时受到的向心力大小为G2

R

D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

解析 天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆v24π2mrGMm

周运动，即F引＝F向＝m＝2.当卫星在地表运行时，F引＝2＝mg(此时R为地

rTRGMm

球半径)，设同步卫星离地面高度为h，则F引＝＝F向＝ma向

?R＋h?2

( )

mv2GMm

D正确．由＝得，v＝

?R＋h?2R＋h

GM

< R＋h

2

GMGMm4πm?R＋h?

，B正确．由＝，RT2?R＋h?23GMT23GMT2得R＋h＝ ，即h＝ －R，A错误．

4π24π2答案 BD

同步卫星的六个“一定”

突破训练3 北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有 导航、定位等功能．“北斗” 系统中两颗工作卫星1和2 均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径均为r，某时刻两颗 工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，如图3所示． 若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，

图3

( )

地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．以下判断正确的是 R2g

A．两颗卫星的向心加速度大小相等，均为2 rB．两颗卫星所受的向心力大小一定相等

C．卫星1由位置A运动到位置B所需的时间可能为

7πr 3R

r g

D．如果要使卫星1追上卫星2，一定要使卫星1加速 答案 AC