标准实用
§3.1不等式与不等关系
1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是： v?40
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示??f?2.5%
p?2.3%?问题1：设点A与平面?的距离为d,B为平面?上的任意一点，则d?|AB|。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就
可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为(8?低于20万元”可以表示为不等式
x?2.5?0.2)x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不0.1(8?x?2.5?0.2)x?20 0.1问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。
?500x?600y?4000;?3x?y;?要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：?
x?0;??y?0.?§3.1不等式与不等关系
回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a?b?a?c?b?c （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若a?b,c?0?ac?bc （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若a?b,c?0?ac?bc 1、不等式的基本性质：
证明以上的不等式的基本性质
证明：1）∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0，∴a＋c＞b＋c 2）(a?c)?(b?c)?a?b?0，∴a?c?b?c．
实际上，我们还有a?b,b?c?a?c，（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）a?b,b?c?a?c （2）a?b?a?c?b?c （3）a?b,c?0?ac?bc （4）a?b,c?0?ac?bc 2、探索研究
文档大全
标准实用
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1）a?b,c?d?a?c?b?d； （2）a?b?0,c?d?0?ac?bd；
nn（3）a?b?0,n?N,n?1?a?b;na?nb。
证明：
1）∵a＞b，∴a＋c＞b＋c． ①,∵c＞d，∴b＋c＞b＋d．②,由①、②得 a＋c＞b＋d．
2）
a?b,c?0?ac?bc???ac?bd
c?d,b?0?bc?bd?n3）反证法）假设a?[范例]：
nnb，则：若
a?a?nnb?a?bb?a?bn这都与a?b矛盾， ∴na?nb．
cc?。 ab11111cc?0。于是 a?证明：以为a?b?0，所以ab>0,?b?，即?,由c<0 ，得? abababbaab例1、已知a?b?0,c?0,求证
3.随堂练习1 2、在以下各题的横线处适当的不等号：
222
(1)（3＋2） ６＋26；（2）（3－2） （6－1）；
（3）11 ；(4)当a＞b＞0时，log1a log1b 5?26?522答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解：由题意可知：
22
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a－2a－1５）－（a－2a－８）＝－７＜0 ∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2
1、 比较大小：（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６） （2）x?5x?6与2x?5x?9
2
224.小结 学习不等式的性质，并用不等式的性质证明一些简单的不等式，研究如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论
文档大全
标准实用
§3.2一元二次不等式及其解法
2.新课 1）一元二次不等式的定义
象x?5x?0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
22）探究一元二次不等式x2?5x?0的解集
怎样求不等式（1）的解集？ 探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：x1?0,x2?5,二次函数有两个零点：x1?0,x2?5 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集
画出二次函数y?x?5x的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即x?5x?0； 当0 所以，不等式x?5x?0的解集是?x|0?x?5?，从而解决了本节开始时提出的问题。 22223）探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：ax?bx?c?0,(a?0)或ax?bx?c?0,(a?0) 一般地，怎样确定一元二次不等式ax?bx?c>0与ax?bx?c<0的解集？ 总结讨论结果： （l）抛物线 y?ax?bx?c（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 22222ax2?bx?c=0的判别式??b2?4ac三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0 分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式ax?bx?c>0与ax?bx?c<0的解集 一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集： 22222设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac， 2 则不等式的解的各种情况如下表： 文档大全 标准实用 ??0 y?ax2?bx?c ??0 y?ax2?bx?c ??0 y?ax2?bx?c 二次函数 y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 ax2?bx?c?0 有两相异实根 有两相等实根 x1,x2(x1?x2) ?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集[范例] x1?x2??b 2a 无实根 R ? b??xx?x1或x?x2? ?xx???? 2a?? ?xx1?x?x2? ? 例2 求不等式4x?4x?1?0的解集. 解：因为??0,方程4x?4x?1?0的解是x1?x2?例3解不等式?x?2x?3?0. 2解：整理，得x?2x?3?0.,因为??0,方程x?2x?3?0无实数解， 222?1.,所以，原不等式的解集是?xx?2?1?? 2?2所以不等式x4.小结 2?2x?3?0的解集是?.，从而，原不等式的解集是?. 解一元二次不等式的步骤： ① 将二次项系数化为“+”：A=ax?bx?c>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式?，分析不等式的解的情况： 2?若A?0，则x?x1或?x2；xxⅰ.?>0时，求根1<2，? 若A?0，则x?x?x.12?文档大全
相关推荐：
loading