2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 含参数的导数问题解题方法

2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 含参数的导数问题解题方法

一、陷阱类型 1.导数与不等式证明 2.极值点偏移问题 3.导函数为0的替换作用 4.导数与数列不等式的证明 5.变形后求导 6.讨论参数求参数

7.与三角函数有关的含参数的求导问题 8.构造函数问题 9.恒成立求参数

二、陷阱类型分析及练习 1.导数与不等式证明

例1. 已知函数f?x?=lnx+ax+(2a+1)x．

2

（1）讨论f?x?的单调性； （2）当a﹤0时，证明f?x???3?2． 4a（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在x??1取得最大值，最大值为 2a111)?ln(?)?1?. 2a2a4a311311?2等价于ln(?)?1????2，即ln(?)??1?0. 所以f(x)??4a2a4a4a2a2a1设g（x）=lnx-x+1，则g’x??1.

xf(?当x∈（0,1）时， g??x??0；当x∈（1，+?）时， g??x??0.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，

+?）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当

a＜0时， ln?113??1?0，即fx???2. 2a2a4a【放陷阱措施】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数h?x??f?x??g?x?.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.

（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

bex?1练习1设函数f?x??aelnx?,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.

xx(1)求a,b (2)证明: f?x??1 【答案】（I）a?1,b?2；（II）详见解析.

试题解析：（1）函数f?x?的定义域为?0,???，

abbf'?x??aexlnx?ex?2ex?1?ex?1.

xxx由题意可得f?1??2， f'?1??e.故a?1， b?2. （2）证明：由（1）知， f?x??exlnx?从而f?x??1等价于xlnx?xe?x?2x?1e， x2. e设函数g?x??xlnx，则g'?x??1?lnx. 所以当x??0,?， g'?x??0；

??1?e?当x??,???时， g'?x??0.

?1?e??故g?x?在?0,?上单调递减， ?,???上单调递增，从而g?x?在?0,???上的最小值为g????.

??1?e??1?e???1??e?1e设函数h?x??xe?x?2?x，则h'?x??e?1?x?. e所以当x??0,1?时， h'?x??0；当x??1,???时， h'?x??0.故h?x?在?0,1?上单调递增，在?1,???上单调递减，从而h?x?在?0,???上的最大值为h?1???综上，当x?0时， g?x??h?x?，即f?x??1. 2.极值点偏移问题

例2. ．函数f?x??x?mln?1?x? .

21. e（1）当m?0时，讨论f?x?的单调性；

（2）若函数f?x?有两个极值点x1,x2，且x1?x2，证明： 2f?x2???x1?2x1ln2 . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：

(2)由题意结合函数的性质可知： x1,x2是方程2x2?2x?m?0的两根，结合所给的不等式构造对称差函数??x??2x2?4?1?x?xln?1?x???1?x??1?2ln2?,(?可证得题中的不等式. 试题解析：

1?x?0) ，结合函数的性质和自变量的范围即22x2?2x?m函数f?x?的定义域为??1,???,f??x??，

1?x（1）令g?x??2x?2x?m，开口向上， x??21为对称轴的抛物线， 2当x??1时， ①g??11?1????m?0，即时， g?x??0，即f??x??0在??1,???上恒成立， m??22?2?②当0?m?11?2m11?2m12,x2???时，由g?x??2x?2x?m，得x1???，

2222211?2m1???，当x1?x?x2时， g?x??0，即f??x??0， 222因为g??1??m?0，所以?1?x1??

（2）若函数f?x?有两个极值点x1,x2且x1?x2， 则必有0?m?11，且?1?x1???x2?0，且f?x?在?x1,x2?上递减，在??1,x1?和?x2,???上递增， 22则f?x2??f?0??0，

因为x1,x2是方程2x2?2x?m?0的两根， 所以x1?x2??2,x1x2?m，即x1??1?x2,m?2x1,x2， 2要证2f?x2???x1?2x1ln2

又2f?x2??2x2?2mln?1?x2??2x2?4x1x2ln?1?x2?

222?2x2?4?1?x2?x2ln?1?x2?????1?x2??2??1?x2?ln2?1?x2?2?1?x2?ln2，

即证2x2?4?1?x2?x2ln?1?x2???1?x2??1?2ln2??0对?21?x2?0恒成立， 2设??x??2x2?4?1?x?xln?1?x???1?x??1?2ln2?,(?则???x???4?1?2x?ln?1?x??ln当?1?x?0) 24 e41?x?0时， 1?2x?0,ln?1?x?0,ln0，故???x??0，

e2?1?,0?上递增， 2??所以??x?在??