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通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章

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《通信原理》习题第二章

输入信号的傅里叶变换为

X(f)=

输出信号y(t)的能量谱密度为

Gy(f)?Y(f)?X(f)H(f)?(R?2211??1?j2?f?

??j2?f?C

)R R?1j2?fC)(1?1j2?f?习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端,得到的输出信号为y(t)=??dx(t)/dt?式中,?为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).

解:输出信号的傅里叶变换为Y(f)=?*j2?f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2?f?

习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

n0的白噪声时,试求输出功率谱密度和自相关函数。 2图2-3RC 高通滤波器

解:参考例2-10

习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为

n0的高斯白噪声时,试求 2(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。

解:(1)LC低通滤波器的系统函数为 2j2?fC2j2?fC?j2?fL11?4?fLC222L C H(f)=?

n01

21??2LCCnC对功率谱密度做傅立叶反变换,可得自相关函数为R0(?)?0exp(??)

4LL输出过程的功率谱密度为P0(?)?Pi(?)H(?)?图2-4LC低通滤波器

(2) 输出亦是高斯过程,因此

?2?R0(0)?R0(?)?R0(0)?

习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声,当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

Cn0 4Ln0 的白噪声时,试求输出噪声的概率密度。 2解:高斯白噪声通过低通滤波器,输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知

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《通信原理》习题第二章

E(y(t))=0 , ?y2?R0(0)?n0 4RC所以输出噪声的概率密度函数

py(x)?12x2RCexp(?)n0?n02RC

习题2.18设随机过程?(t)可表示成?(t)?2cos(2?t??),式中?是一个离散随变

R(0,1)量,且p(??0)?1/2、p(???/2)?1/2,试求E[?(1)]及?。

解:E[?(1)]?1/2*2cos(2??0)?1/2*2cos(2???/2)?1;

R?(0,1)?E[?(0)?(1)]?1/2*2cos(0)2cos(2??0)?1/2*cos(?/2)2cos(2???/2)?2习题2.19设

Z(t)?X1cosw0t?X2sinw0t2

是一随机过程,若

X1和

X2

是彼此独立且

具有均值为 0、方差为?的正态随机变量,试求:

2E[Z(t)]; E[Z(t)](1)、

(2)Z(t)的一维分布密度函数f(z); (3)

B(t1,t2)和

R(t1,t2)。

解: (1)

E[Z(t)]?E[X1cosw0t?X2sinw0t]?cosw0tE[X1]?sinw0tE[X2]?0

因为

X1和

X2是彼此独立的正态随机变量,

X1和

X2是彼此互不相关,所以

E[X1X2]?0

E[Z2(t)]?E[X12cos2w0t?X22sin2w0t]?cos2w0tE[X12]?sin2w0tE[X22]

E[X1]?0D(X1)?E[X12]?E[X22]??2?E[X12]??2又;

同理

E[X22]??2

22E[Z(t)]??代入可得

(2)

22E[Z(t)]??E[Z(t)]由=0; 又因为Z(t)是高斯分布

1z2f[Z(t)]?exp(?2)2D[Z(t)]??2? 2??可得

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《通信原理》习题第二章

(3)

B(t1,t2)?R(t1,t2)?E[Z(t1)]E[Z(t2)]?R(t1,t2)

?E[(X1cosw0t1?X2sinw0t1)(X1cosw0t2?X2sinw0t2)]

?E[(X12cosw0t1cosw0t2?X22sinw0t1sinw0t2)]??2cosw0(t1?t2)??2cosw0?令

t1?t2??

习题2.20求乘积Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的自相关函数分别为解:

因X(t)与Y(t)是统计独立,故 E[XY]?E[X]E[Y]

Rx(?)、

Ry(?)。

RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)] ?E[X(t)X(t??)]E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)

习题2.21若随机过程

Z(t)?m(t)cos(w0t??),其中m(t)是宽平稳随机过程,且自相关

?1??,?1???0?Rm(?)??1??,0???1?0,其它Rm(?)?函数为 ?是服从均匀分布的随机变量,它与m(t)彼

此统计独立。

(1) 证明Z(t)是宽平稳的; (2) 绘出自相关函数(3) 求功率谱密度

解:

(1)Z(t)是宽平稳的?E[Z(t)]为常数;

E[Z(t)]?E[m(t)cos(w0t??)]?E[m(t)]E[cos(w0t??)]RZ(?)的波形;

PZ(w)及功率S 。

RZ(t1,t2)?E[Z(t1)Z(t2)]?E[m(t1)cos(w0t1??)m(t2)cos(w0t2??)]01?[2?2??cos(wt??)d?]E[Z(t)]?00

?E[m(t1)m(t2)]E[cos(w0t1??)cos(w0t2??)]E[m(t1)m(t2)]?Rm(t2?t1)

只与

t2?t1??有关:

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《通信原理》习题第二章

t2?t1??

?cosw0?*E[cos2(w0t1??)]?sinw0?*E[cos(w0t1??)sin(w0t1??)]1?cosw0?*E{[1?cos2(w0t1??)]}?02 1?cos(w0?)2

1RZ(t1,t2)?cos(w0?)*Rm(?)2所以只与?有关,证毕。

E{cos(w0t1??)[cos(w0t1??)cosw0??sin(w0t1??)sinw0?}E{cos(w0t1??)cos[w0(t1??)??]}

(2)波形略;

?1?2(1??)cos(w0?),?1???0?1?1RZ(?)?cos(w0?)*Rm(?)??(1??)cos(w0?),0???12?20,其它???

PZ(w)?RZ(?)

RZ(?)的波形为

可以对

Rm(?)求两次导数,再利用付氏变换的性质求出

Rm(?)的付氏变换。

Rm''(?)??(??1)?2?(?)??(??1)?Pm(w)?sin(w/2)w?Sa2()w/22

w?w0w?w01?PZ(w)?[Sa2()?Sa2()]422

功率S:

S?RZ(0)?1/2

Rn(?)?aexp(?a?)P(w)2,a为常数: 求n和S;

习题2.22已知噪声n(t)的自相关函数

解:

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《通信原理》习题第二章

因为

exp(?a?)?2aw2?a2

aa2Rn(?)?exp(?a?)?Pn(w)?22w?a2 所以

S?R(0)?a2

习题2.23?(t)是一个平稳随机过程,它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间(-1,1)上,该自相关函数

R(?)?1??。试求?(t)的功率谱密度

P?(w) 。

wR(?)?1???Sa2()2 解:见第2. 4 题

因为

?T(t)??n????(t?2n)? 所以

?(t)?R(?)*?T(t)

据付氏变换的性质可得

?P?(w)?PR(w)F?(w)?而

?T(t)??n????(t?2n)???n????(w?n?)??2w2w?n?P(w)?P(w)F(w)?Sa()*??(w?n?)?Sa()*??n????n????(w?n?)?R?22故

习题2.24将一个均值为 0,功率谱密度为为频率为

wcn0/2的高斯白噪声加到一个中心角

、带宽为B的理想带通滤波器上,如图

(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数; (2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解: (1)

Po(w)?H(w)Pi(w)?2n0H(w)2

G2B?(w)?BSa(B??)?因为w0

G2w0(w)?Sa(w0?),故

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