§1.3 全称量词与存在量词
1.全称量词和存在量词
(1)全称量词:“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,用符号“?”表示.
(2)存在量词:“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,用符号“?”表示.
2.全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 全称命题 语言表示 对M中任意一个x,有p(x)成立 符号表示 ?x∈M,p(x) 命题的否定 ?x∈M,綈p(x) 存在性命题
存在M中的一个x,使p(x)成立 ?x∈M,p(x) ?x∈M,綈p(x) 概念方法微思考
1.怎样判断一个存在性命题是真命题？
提示 要判定存在性命题“?x∈M,P(x)”,只需在集合M找到一个x,使P(x)成立即可. 2.命题p和綈p可否同时为真,思考一下此结论在解题中的作用？
提示 命题p和綈p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题.( × ) (2)“全等三角形的面积相等”是存在性命题.( × ) (3)写存在性命题的否定时,存在量词变为全称量词.( √ ) 题组二 教材改编
2.命题“?x∈R,x2＋x＋1＞0”的否定是________. 答案 ?x∈R,x2＋x＋1≤0
3.命题“?x∈N,x2≤0”的否定是________. 答案 ?x∈N,x2＞0
a
4.命题“对于函数f (x)＝x2＋(a∈R),存在a∈R,使得f (x)是偶函数”为________命题.(填
x“真”或“假”) 答案 真
解析 当a＝0时,f (x)＝x2(x≠0)为偶函数. 题组三 易错自纠
5.(多选)下列命题的否定中,是全称命题且为真命题的有( ) 1
A.?x∈R,x2－x＋＜0
4B.所有的正方形都是矩形 C.?x∈R,x2＋2x＋2＝0
D.至少有一个实数x,使x3＋1＝0 答案 AC
1
解析 由条件可知:原命题为存在性命题且为假命题,所以排除BD；又因为x2－x＋ 41
x－?2≥0,x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0,所以AC均为存在性命题且为假命题,故选AC. ＝??2?6.下列命题中的假命题是________.(填序号) ①?x∈R,lg x＝1； ②?x∈R,sin x＝0； ③?x∈R,x3＞0； ④?x∈R,2x＞0. 答案 ③
解析 当x＝10时,lg 10＝1,则①为真命题； 当x＝0时,sin 0＝0,则②为真命题； 当x＜0时,x3＜0,则③为假命题；
由指数函数的性质知,?x∈R,2x＞0,则④为真命题.
7.若命题“?t∈R,t2－2t－a＜0”是假命题,则实数a的取值范围是________. 答案 (－∞,－1]
解析 命题“?t∈R,t2－2t－a＜0”是假命题,等价于?t∈R,t2－2t－a≥0是真命题, ∴Δ＝4＋4a≤0,解得a≤－1. ∴实数a的取值范围是(－∞,－1].
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