全称命题、存在性命题的真假
例1 (1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 1
D.存在一个负数x,使＞2
x答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题；B中当x＝0时,x2＝0,满足x2≤0,所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为2＋(－2)＝0不是无理数,所以C是假命题；11
D中对于任意一个负数x,都有＜0,不满足＞2,所以D是假命题.
xx(2)下列四个命题:
?1??1?①?x∈(0,＋∞),??
?2??3?②?x∈(0,1),log1x>log1x；
23xx1?x
③?x∈(0,＋∞),??2?＞log1x；
211
0，?,??x＜log1x. ④?x∈??3??2?3其中真命题的序号为________. 答案 ②④
1?x?1?x
解析 对于①,当x∈(0,＋∞)时,总有??2?＞?3?成立,故①是假命题；
1111
对于②,当x＝时,有1=log1=log1>log1成立,故②是真命题；
2
2233321?x1
对于③,当0＜x＜时,log1x＞1＞??2?,故③是假命题； 2
211
0，?,??x＜1＜log1x,故④是真命题. 对于④,?x∈??3??2?
3思维升华 判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立. 跟踪训练1 (1)下列命题中的假命题是( ) A.?x∈R,2x1＞0 C.?x∈R,lg x＜1 答案 B
解析 当x∈N*时,x－1∈N,可得(x－1)2≥0,当且仅当x＝1时取等号,故B不正确；易知A,C,D正确,故选B.
(2)已知函数f (x)＝x,则( ) A.?x∈R,f (x)＜0 B.?x∈(0,＋∞),f (x)≥0
f ?x1?－f ?x2?
C.?x1,x2∈[0,＋∞),＜0
x1－x2
D.?x1∈[0,＋∞),?x2∈[0,＋∞),f (x1)＞f (x2) 答案 B
解析 幂函数f (x)＝x的值域为[0,＋∞),且在定义域上单调递增,故A错误,B正确,C错误,D选项中当x1＝0时,结论不成立.
1212－
B.?x∈N*,(x－1)2＞0 D.?x∈R,tan x＝2
含有一个量词的命题的否定
1.已知命题p:“?x∈R,e－x－1≤0”,则綈p为( ) A.?x∈R,e－x－1≥0 B.?x∈R,e－x－1＞0 C.?x∈R,ex－x－1＞0 D.?x∈R,ex－x－1≥0 答案 C
解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系,可得綈p为“?x∈R,ex－x－1＞0”,故选C.
2.(2020·山东模拟)设命题p:所有正方形都是平行四边形,则綈p为( ) A.所有正方形都不是平行四边形 B.有的平行四边形不是正方形 C.有的正方形不是平行四边形
D.不是正方形的四边形不是平行四边形 答案 C
解析 “所有”改为“存在”(或“有的”),“都是”改为“不都是”(或“不是”),即綈p为有的正方形不是平行四边形.
3.命题:“?x∈R,sin x＋cos x＞2”的否定是________________. 答案 ?x∈R,sin x＋cos x≤2
4.(2019·邯郸一中测试)若命题p的否定是“对所有正数x,x＞x＋1”,则命题p是____________________. 答案 ?x∈(0,＋∞),x≤x＋1
xxx思维升华 对全称命题、存在性命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词； (2)对原命题的结论进行否定.
根据命题的真假求参数的取值范围
例2 (1)已知命题p:?x∈R,x2－a≥0；命题q:?x∈R,x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p,q都是真命题,则实数a的取值范围为__________. 答案 (－∞,－2]
解析 由命题p为真,得a≤0,由命题q为真,得Δ＝4a2－4(2－a)≥0,即a≤－2或a≥1,所以a≤－2.
1?x
(2)已知f (x)＝ln(x2＋1),g(x)＝??2?－m,若对?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f (x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________________. 1
，＋∞? 答案 ?4??
解析 当x∈[0,3]时,f (x)min＝f (0)＝0,当x∈[1,2]时, 1
g(x)min＝g(2)＝－m,由题意得f (x)min≥g(x)min,
411即0≥－m,所以m≥.
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