气轨上研究简谐振动 - 图文

气轨上研究简谐振动

指导教师：王亚辉

实验团队：袁维，李红涛，苗少少

（陕西理工学院物理与电信工程学院物理系，汉中，723000）

摘要 在气轨导体上观察简谐振动现象，测定简谐振动的周期，观察简谐振动系统中的弹

性势能和动能之间的相互转化，测定和计算它们之间的数量关系。

关键词 气垫导轨 简谐振动 劲度系数 粘滞阻力 Ⅰ. 实验原理

当气垫导轨充气后，在其上放置以滑块，用两个弹簧分别将滑块和气垫导轨两端连接起来，如图1.（a）所示。选滑块的平衡位置为坐标原点O，将滑块由平衡位置准静态移至某点A，其位移为x，此时滑块一侧弹簧被压缩，而另一侧弹簧被拉长，如图1.（b）所示。

图1

若弹簧的弹性系数分别为k1，k2，则滑块受到的弹性力为

F =－（k1+k2）x (1)

式中，负号表示力和位移的方向相反。由于滑块与气轨间的摩擦力极小，故可以略去。滑块仅受到在x方向的恢复力即弹性力F的作用，这时系统将做简谐振动，其动力学方程为 F =－（k1+k2）x = m

d2xdt2 (2)

令ω2=

k?k2，则方程改写为 m1

d2xdt2+ω2x=0

这个常系数二阶微分方程解为

x=cos(ω+φ) (3) 式中，ω称为角频率，简谐振动的周期为 T=

2???2?mk1?k2

将式（3）对时间求导数，可得滑块运动的速度为 V=

dxdt???Asin(?t??) (4)

由于滑块只受弹性力（保守力）作用，因此系统振动过程中机械能守恒。设滑块在某位置x处的速度为v，则系统在该位置处的总能量应为

E=EP+EK=把式（3）和式（4）代入式（5）有 E=又

11( k1+k2)x2+mv2 (5) 2211( k1+k2)A2cos2(ωt+φ)+ mω2A2sin2(ωt+φ) 22k1?k2 ω m2=

k1+k2=ω2m 故

E=

11mω2A2=( k1+k2)A2 (6) 22式中，m,k1,k2及A都是常量。它说明尽管振动过程中动能、势能不断随时间变化，但其总

量保持不变。

实验中若将滑块移至A点并作为起始点，初速度v=0，位移xmax==A,则该点处动能为零，系统总能量即为弹性势能E=1/2（k1+k2）A2;当滑块运动到平衡位置O点时，位移x=0而速度有最大值vmax，该点处势能为零，系统总能量全部转化为动能即E=1/2mv2max。因此，只要测出起始位置的最大位移或平衡位置O点的滑块速度，即可算出振动系统的总能量E.而在振动过程中其他任一位置的动能和势能之和总等于E。

Ⅱ. 实验仪器

气垫导轨及其附件，计速计时测速仪，电子秤，尼龙细线，两个弹簧等

Ⅲ. 实验步骤

1. 实验观察

（1） 观察本实验中振动现象，指出滑块在何处受力最大，何处受力最小；何处

速度最大，何处速度最小；何处加速度最大，何处加速度最小。

（2） 仔细观察滑块振动的振幅有无衰减，分析其原因。

（3） 若将气垫导轨由水平改为倾斜状态，观察滑块的振动，此时与水平振动有

无区别？振动周期是否相同？是否为谐振动？试写出振动方程。

2. 测量弹簧的弹性系数

（1） 打开数字毫秒计电源开关，拨至T档。气轨充气后，把滑块置于气轨上并

将导轨调成水平。

（2） 如图2将被测弹簧系于导轨和滑块之间，滑块再通过尼龙细线绕过气垫滑

轮吊一砝码盘，盘内加上45g砝码使弹簧预先伸长，记下滑快位置x1，然后依次加20g，40g，60g的砝码并分别记下滑块的位置x，把数据计入表1。

（3） 改换第二根弹簧重复（2）的内容，测出弹性系数是k2。

3. 测简谐振动的周期

（1） 用已知弹性系数的两根弹簧及滑块m构成力学谐振动系统。将数字毫秒计

拨至“手动”复位，然后使滑块从平衡位置向右（或向左）移动x1cm，放手后仔细观察系统的运动情况并用数字毫秒计记下滑快完成10次全振动所用的时间。将数据记录入表2。

（2） 改变初始位移（即振幅）分别为x2,x3,重复（1）的内容，最后计算出谐振

_动周期的平均值T。

4. 测振动系统的能量

（1） 将数字毫秒计选择开关拨至T档和自动复位，把一光电门移至系统平衡位

置x0处，另一光电门距x0点约20cm的x1处，给滑块m一适当的初位移，然后放手，滑块开始振动，记录滑块通过光电门时的速度v，并将x，x1的值记入表3中。

（2） 给滑块不同的初位移x’，x’’，重复（1）的内容。

（3） 用天平称出滑块连同弹簧的质量，计算系统在x，x0 ，x1各位置处的势能、

动能、总机械能并加以比较。

5. 将气垫导轨由水平改为倾斜状态，重复3、4的步骤，完成表格4、5。

实验数据

M砝码盘=20.2g mk1=12.4g mk2=12.1g m小车=174.5g

表1 测弹簧弹性系数

弹簧 初始位置 x1/m 36.0×10-2 加砝码后的位置x/m 伸长量 （x-x1）/m 9.6×10-2 19.1×10-2 28.4×10-2 5.9×10-2 12.9×10-2 19.4×10-2 理论值T’=2π弹性系数 k=mg/（x-x1）(N/m) 2.083 2.094 2.113 3.390 3.101 3.093 相对百分差——kN/m 2.097 1 20g 40g 60g 45.6×10-2 55.1×10-2 64.4×10-2 32.6×10-2 39.6×10-2 46.1×10-2 —2 26.7×10-2 20g 40g 60g 3.195 表2 测简谐振动周期 10周时间/s 周期T/s T/s m/k1?k2 速度v=l/t 动能Ek=1/2mv2 T-T’/T'×100％ 势能Ep=1/2（k1+k2）x2 总能量E=Ek+Ep x1 x2 x3 次数 1 表3 测简谐振动系统能量 系统质弹性系数位置量m/kg k1+k2/(N/m) x/m X0 X1 X 2 X0 X1 X’ 3 X0 X1 X’’