泰勒公式及其在解题中的应用

本科生毕业设计（论文）

（ 2014届）

设计（论文）题目 泰勒公式及其在解题中应用 作 者 周立泉 分 院 理工分院用数学1001班 指导教师（职称） 徐华（讲师） 专 业 班 级 数学与应用数学） 论 文 字 数 8000

杭州师范大学钱江学院教学部制

论文完成时间 2014年4月3日

泰勒公式及其在解题中应用

数学与应用数学1001班 周立泉 指导教师 徐华

摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．

关键词：泰勒公式;数学分析 ;导数

Taylor Formula and Its Application in Solving Problem

Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua

Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.

目录

1引言 .................................................................... 1 2泰勒公式 ................................................................ 1 3泰勒公式在解题中的应用 .................................................. 2 3.1利用泰勒公式求近似值 .................................................. 2 3.2利用泰勒公式求极限 .................................................... 4 3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 .............................. 7 3.3.1判断级数的敛散性 ................................................ 7 3.3.2判断广义积分的敛散性 ............................................ 9 3.4利用泰勒公式证明等式与不等式 ......................................... 10 4结论及展望 ............................................................. 10 参考文献 ................................................................ 11 致谢 .................................................................... 12

泰勒公式及其在解题中应用

数学与应用数学1001班周立泉 指导教师徐华

1引言

泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了极大的作用．关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的计算等等．事实上，由于许多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式．因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题．

虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间．

2泰勒公式

泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质 各异．定性的余项为佩亚诺余项o((x?x0))，仅表示余项是(x?x0)，即当(x?x0)时高阶的无

nnf(n?1)(?)穷小．定量的余项是拉格朗日型余项， (x?x0)n?1（?也可以写成x0??(x?x0)0???1）

(n?1)!定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计．

定理1(泰勒定理)：设f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个领域，对于领域中的任一点x，成立

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)????(x?x0)n?rn(x) （1）

2!n!f(n?1)(?)(x?x0)(n?1)，?在x与x0之间． 其中余项rn(x)满足rn(x)?(n?1)!'上述公式（1）称为f(x)在x?x0处的带拉格朗日型余项的泰勒公式．余项

f(n?1)(?)(x?x0)n?1（?在x与x0之间） rn(x)?(n?1)! 1