由于5?1?2(mod4)故2mk?1?2(mod4)，从而k?0，即m?0,n?1，
故只有n?1,p才是有限小数。
练习题 1． 试求(1998余数24
2． 设p,q都是质数,且7p?q,pq?11也是质数,求(p2?qp)(q2?pq)的值
解析：先对质数作奇偶性分析：知一奇一偶，必有一个为2，然后对另一个取模分类： 221 3． p1?p2?p3?p4?p5是5个质数,且p1,p2,p3,p4,p5成等差数列,求p5的最小值
5，11,17,23,29
kn4． 求最大的正整数k,使得存在正整数n，满足:23?1
10?1999)50被25除所得的余数。
k?2
5． 证明：对每个正整数n，数19?8?17都是合数 解析：从特殊性看问题
（1） 从8，考虑模7或9，经尝试，由模9得，若n为偶数时，原式为合数 （2） n?1,19?8?17?13为合数，若19?8?17?19?8?17(mod13)，则可
只要8?8(mod13)即可，由费尔马小定理n?13即可，但归纳知：8?1(mod13) 所以，k?4k?1结论成立
最后剩下k?4k?3，考虑特例19?8?17?9845，取模5，问题全部解决 6． 求下列方程的正整数解：（1）2?1?y （2）2?1?y （3）5?3?2 答案（1）x?y?3 （2）x?1,y?1 （3）x?1,y?1
x2x2nnn2n43xy2.2 奇数与偶数
40n 例1 已知n为正整数,且2n?1与3n?1都是完全平方数,证明：提示：奇数的平方模8余1，研究模5的情形
1的正整数n，例2 设质数从小到大依次排列为p1,p2,?.证明：对任意大于
数p1p2?pn?1和数p1p2?pn?1都不是完全平方数 利用完全平方数的性质：模3余0,1，模4余0,1
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例3 若a,b是使得ab?1为完全平方数的正整数，则记a≈b。证明：若a≈b 则存在正整数c,使得：a≈c，b≈c 通过因式分解可找到c?2m?a?b
x1?x2???xn?1599 例4 求最小的正整数n,使得存在整数x1,x2,?,xn满足：解析：因为6?1599，故数不会太大，x?0,1(mod8),?x?0,1(mod16)，
4244441599?15(mod16)，故n?15，当n?15时，只要xi4?1(mod16)，从奇数中找，只能取
1,3,5. x?1?y?3?z?5?1599，解得：x?2,y?12,z?1,?n?15 例5 设正整数x,y,z满足(x,y,z)?1,并且平方数
法1：设最大公约数法 法2：利用分比定理
例6 求所有的正整数对(a,b)，得使a?6ab?1,b?6ab?1都是完全立方数 证明：不妨设a?b，完全立方数夹在完全立方数之间，这是“限定范围”，然后筛选 a?b?1 练习题
1.设a是任意整数，试证下面形式的数都不是完全平方数：（1）5a?2；（2）5a?6。 解：（1）5a?2?2不同余x(mod5)；
（2）5a?6?a?2?2或3(mod5)，但x?0或1(mod5)。
m(2m?1)22n?1 2.设m,n为正整数,m?1.证明：m(2?1)n的充要条件是：444111??,证明：x?y,x?z,y?z都是完全xyz3322222m证明：先证? 设m(2?1)n，则n?m(2?1)k,
m 2?1?(2)nmk2m?1?1?(2mk?1)[(2)mk2m?2?(2)mk2m?3???2mk?1]=
A?B，
B是2m?1项和 (2mk)i?1(modA),所以B?A(modA)，AB
再证?设n?mq?r,0?r?m，2?1?2nmq?r?1?2r?1(modA),推知r?0，故
n?mq，2n?1?A?[(2m)q?1???1]?A?C,易证AC
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3 求所有的正整数组 (x,y,z,w),使得x!?y!?z!?w!
提示：x?y?z??,故??z?1,推知??2 （2,2,2,3） 4 设m,n为正整数,且mnm?n?m,证明：m是一个完全平方数
证明：由条件：m?n?m?kmn,即n?kmn?m?m?0 （1）有解，关于n的方程 ??(km)?4(m?m)?m(km?4m?4)， 若m是奇数，m与括号内的数互质，m为完全平方数
若m偶数，（1）知：n为偶数，分析知，m是4的倍数，设m?4s， ??16s(ks?4s?1)，s与括号内的数也互质，s也是完全平方数
5 求最小的正整数n，使得在十进制之下，n的末三位数字是888.
322222222222n?192
2?1既不是完全平方数，也不是完全立方数。 6 设正整数n?1,证明：7 设a,b,c为正整数,且a?b?c为整数,证明：a,b,c都是完全平方数 8 已知正整数c是一个奇合数，证明：存在正整数a,使得：a?nc?1,且(2a?1)2?8c是一3个完全平方数
9 圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2，?，800.它们将圆周分为800个间隙，现在选定某个点，，将其染上红色，然后进行下属操作：如果第k号染成了红色，那么依顺时针方向转过k个间隙，将所到达的点染成红色。问：依次规则，圆周上最多有多少个点被染成了红色？证明你的结论
第三节 进位制与数字问题
典例分析
例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。 分析与解答
分析：用2作为除数（若化为p进位制就以p作为除数），除2004商1002，余数为0；再用2作为除数，除1002商501余数为0；如此继续下去，起到商为0为止。所得的各次余数按从左到右的顺序排列出来，便得到所化出的二进位制的数。 解：
被除数 各次商数0
除数 2 15
31 62 125 250 501 1002 2004 1 3 7 15
1 1 1 1 各次余数1 0 1 0 1 0 0 故(2004)10?(11111010100)2，2?104?4?1?210?1?29?1?28?1?27?1?26?1?24?1?22； 同理，有(2004)10?(3274)8，2?104?4?3?83?2?82?7?8?4。
处理与数字有关的问题，通常利用定义建立不定方程来求解。
例2．求满足abc?(a?b?c)的所有三位数abc。 （1988年上海市竞赛试题） 解：由于100?abc?999，则100?(a?b?c)?999，从而5?a?b?c?9； 当a?b?c?5时，5?125?(1?2?5)； 当a?b?c?6时，6?216?(2?1?6)； 当a?b?c?7时，7?343?(3?4?3)； 当a?b?c?8时，8?512?(5?1?2)； 当a?b?c?9时，9?729?(7?2?9)；
于是所求的三位数只有512。
例3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。 （1979年云南省竞赛题） 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为x,y,z，则
原数?10x?10y?10z?y ① 颠倒后的新数?10y?10z?10y?x ② 由②－①得7812＝999(y?x)?90(z?y)
即868?111(y?x)?10(z?y)?10(y?x)?10(z?x)?(y?x) ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得y?x?8,z?x?6
由于原四位数的千位数字x不能为0，所以x?1，从而y?x?8?9，又显然百位数字
23232333333333333y?9，所以y?9,x?1,z?x?6?7。所以所求的原四位数为1979。
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