4.定值问题

第104课 定值问题

基本方法：

1. 求解定点和定值问题的思路是一致的，定点问题是求解的一个点（或几个点）的坐标，使得方程的成立与参数无关，定值问题是证明求解的量与参数无关.

2.在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．

3.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值． 一、典型例题

x2y21. 在平面直角坐标系xOy中，E:??1. 过点A??4,0?作直线l交E于点P，交y轴于点Q，过O作直

168线l?Pl，l?交E于点R．试判断

AQ?AP|OR|2是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．

2. 已知抛物线E:x2?8y，直线AB与曲线E交于不同两点A?x1,y1?,B?x2,y2?，且x2?1?x1?m2（m为常数），直线l?与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问?ABC的面积是否为定值.若为定值，求出?ABC的面积；若不是定值，说明理由.

二、课堂练习

1. 设抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点为F，准线为l.已知点A在抛物线C上，点B在l上， ?ABF是边长为4的等边三角形. （1）求p的值；

（2）在x轴上是否存在一点N，当过点N的直线l?与抛物线C交于Q,R两点时，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

x2y2?3?2. 已知点P?1,?，椭圆C:??1上不与P点重合的两点D，E关于原点O对称，若直线PD，PE分

243??11为定值？?22|NQ||NR|别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆被直线y?

三、课后作业

3截得的弦长是定值． 2x2y21. 已知椭圆C：??1，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中

84点为M. 证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

x22. 已知椭圆C:?y2?1，若直线l：y?kx?2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直

2线AD与BD的斜率之和kAD?kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．

x2y23. 已知椭圆C:??1的右焦点为F，过点F的直线交椭圆C于A,B两点，交直线l:x?4于点P，若

43PA??1AF，PB??2BF，求证：?1??2为定值．