上海市浦东新区2020届高三毕业班一模
数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合A?{x|0?x?3}，集合B?{x|x?2}，则AIB?
2n22. lim2? n??3n?13. 复数z满足z?i?1?i（i为虚数单位），则|z|? 4. 若关于x、y的方程组为??x?y?1，则该方程组的增广矩阵为
?x?y?25. 设{an}是等差数列，且a1?3，a3?a5?18，则an? 6. 在(x?16)的二项展开式中，常数项为 x7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 8. 已知集合A?{?2,?1,?,,,1,2,3}，任取k?A，则幂函数f(x)?xk为偶函数的概 率为 （结果用数值表示）
9. 在△ABC中，边a、b、c满足a?b?6，?C?120?，则边c的最小值为 10. 若函数y?ax?2a?1?x2存在零点，则实数a的取值范围是 11. 已知数列{an}，a1?1，nan?1?(n?1)an?1，若对于任意的a?[?2,2]，n?N*， 不等式
111232an?1?3?a?2t恒成立，则实数t的取值范围为 n?112. 如果方程组?
?sinx1?sinx2?????sinxn?0有实数解，则正整数n的最小值是
?sinx1?2sinx2?????nsinxn?2019二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若命题甲：x?1?0，命题乙：lg2x?lgx?0，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件
?114. 已知函数f(x)为函数f(x)的反函数，且函数f(x?1)的图像经过点(1,1)，则函数
f?1(x)的图像一定经过点（ ）
A. (0,1) B. (1,0) C. (1,2) D. (2,1) 15. 以抛物线y2?4x的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2A. ??1 B. ??1 C. ??1 D. ?y2?1 161516443416. 动点A(x,y)在圆x2?y2?1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰 好是12秒，已知时间t?0时，点A的坐标是(31,)，则动点A的纵坐标y关于t（单位： 22秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）
A. [0,3] B. [3,6] C. [6,9] D. [9,12]
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，四棱锥S?ABCD的底面是正方形，SD?平面ABCD，SD?AD?a，点E是线段SD上任意一点.
（1）求证：AC?BE；
（2）试确定点E的位置，使BE与平面ABCD 所成角的大小为30°.
218. 已知函数f(x)?2cosx?3sin2x.
（1）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
uuuruur（2）在△ABC中，BC?BA?6，若函数f(x)的图像经过点(B,2)，求△ABC的面积.
19. 某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府 大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x户（x?N*，x?9）从事水果销售工作， 经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4x%，而从事水果销售 的农户平均每户年收入为(3?1x)万元. 5（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？
（2）若一年后，该村平均每户的年收入为f(x)（万元），问f(x)的最大值是否可以达到2.1万元？
20. 已知曲线C:x2?y2?1，过点T(t,0)作直线l和曲线C交于A、B两点. （1）求曲线C的焦点到它的渐近线之间的距离；
（2）若t?0，点A在第一象限，AH?x轴，垂足为H，连结BH，求直线BH倾斜角的取值范围；
uuuruuur（3）过点T作另一条直线m，m和曲线C交于E、F两点，问是否存在实数t，使得AB?EF?0uuuruuur和|AB|?|EF|同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t的取值集合，如果不存在，请说明理由.
21. 定义f(a1,a2,???,an)?|a1?a2|?|a2?a3|?????|an?1?an|（n?N，n?3）为有限实数列{an}的波动强度.
（1）求数列1，4，2，3的波动强度；
（2）若数列a，b，c，d满足(a?b)(b?c)?0，判断f(a,b,c,d)?f(a,c,b,d)是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；
（3）设数列a1，a2，求f(a1,a2,???,an)???，an是数列1?21，2?22，3?23，???，n?2n的一个排列，的最大值，并说明理由.
参考答案
一. 填空题
?111?2 4. ??
1?12??15. 2n?1 6. 15 7. 2? 8.
41. (0,2) 2.
2 3. 39. 33 10. [0,11.
3] 11. (??,?1] 12. 90 3an?1ana11??，累加可得n?1?2?，∴3?a?2t?2，即a?2t?1， n?1nn(n?1)n?1n?1∵a?[?2,2]，∴2?2t?1?t??1
12. ∵442?1936，452?2025，∴从n?89开始分析，当n?89，
(sinx1?2sinx2?????nsinxn)max??1?2?3?????44?45?0?46?47?????89?1980
当n?90，(sinx1?2sinx2?????nsinxn)max??1?2?3?????45?46?47?????90?2025 当sinx1?2sinx2?????nsinxn??1?2?3?????42?43?0?44?0?45?46?0?47?0?
48?49?????90?2019时，nmin?90
二. 选择题
13. A 14. B 15. C 16. D
三. 解答题
17．【解答】（1）证明：联结BD，因为四边形ABCD为正方形， 所以，AC?BD，……………………………………………………2分 又因为SD⊥平面ABCD，AC??平面ABCD，
所以AC?SD．………………………………………………………4分
?AC?BD?由?AC?SD?AC?平面SBD．………………………………………6分 ?BD?SD?D?又因为BE??平面SED，所以AC?BE．……………………………………7分 （2）解法一：设ED?t，因为SD⊥平面ABCD，
所以BE与平面ABCD所成角为?EBD．……………………………2分
在Rt?EDB中，由tan?EBD?tan30??t2a?t?6a．……………6分 3所以，当ED?6a时，BE与平面ABCD所成角的大小为30o．………………7分 3解法2：（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系．
D?0,0,0?，A?a,0,0?，B?a,a,0?，C?0,a,0?．
设DE?t,则E(0,0,t) ………………………………………………2分 则AC???a,a,0?，BE???a,?a,t?……………………………4分 因为AC?BE?a?a?0?0，
所以AC?BE …………………………………………………7分
（2）取平面ABCD的一个法向量为n??0,0,1? ……………………………8分 因为BE???a,?a,t?，可知直线BE的一个方向向量为d???a,?a,t?．
?设BE与平面ABCD所成角为?，由题意知??30．d与n所成的角为?，则
22cos??d?nd?n?ta?a?t222，……………………………………10分
t11?，…………………12分 因为sin??cos??，所以，
2a2?a2?t22解得，t?当ED?6a．……………………………………………………13分 36a时，BE与平面ABCD所成角的大小为30?．……………………14分3 ??18．【解答】（1）f(x)?2sin?2x? ?T??,x??k??????1……………………………3分
6?
???3,k????,k?Z………………………………6分 ?6?
????f(B)?2sin2B????1?2???B?（2）?…………………………10分 6??3?0?B??? uuuruuur BC?BA?6?ac?12……………………………………………12分
?S△ABC?1acsinB?33………………………………………14分 2 x3x4)?2.4，得1??3?x?2.5161 ……………………4分
2532531.8(1?4x%)19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为………………2分
因而由题意1.8(1?由x?Z?x?3,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. ……………………6分
xx5x(3?)?1.8?(100?5x)(1?)525?1(?34x2?66x?180)(x?N*,x?9) （2）f(x)?100100255……10分
对称轴x?165?N*， …………………………………………………11分 34因而当x?5??9?时，f(x)max?2.12?2.1 ………………………………13分 可以达到2.1万元． ……………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C的焦点为F1?2,0,F2由对称性，不妨计算F2???2,0，渐近线方程y??x，……2分
2?02?1. ……4分
??2,0到直线y?x的距离，d??（2） 设l:y?kx(0?k?1)，A(x1,y1),B(?x1,?y1),H(x1,0)，从而kBH?又因为点A在第一象限，所以0?k?1， ………………………8分 从而kBH??0，?，……………………………………………9分
y1k?7分 2x12??1?2?所以直线BH倾斜角的取值范围是(0,arctan) …………………10分 （3）当直线l:y?0，直线m:x?t
12AB?2,E0,t2?1,F0,?t2?1，2t2?1=2?t??2.
当直线l:x?t，直线m:y?0时，t??2（根据对称性，这种不讨论不扣分）11分 不妨设l:y?k(x?t)?k?0?，与双曲线联立可得(1?k)x?2ktx?(1?kt)?0，…12分
22222????1?k2(t2?1)k2?1??2由弦长公式，|AB|?1?k …14分 221?k1?k2k2?1t2?1?k21将k替换成?，可得|EF|?2 ……………………15分
kk2?1由|AB|?|EF|，可得(t?1)k?1?t?1?k，
2解得t?2，此时??4(kt?k?1)?0成立．
2222222因此满足条件的集合为{?2,2} ……………………………………16分 21．【解答】解：（1）f?1,4,2,3??1?4?4?2?2?3?6………………4分 （2）f?a,b,c,d??f?a,c,b,d?是正确的…………………………………6分 解法1：f?a,b,c,d??f?a,c,b,d??a?b?c?d?a?c?b?d，
Qa?b?c或a?b?c，?a?b?a?c??b?c，c?d?b?d?b?c
所以f?a,b,c,d??f?a,c,b,d??0，即f?a,b,c,d??f?a,c,b,d?
并且当b?c时，d?b可以取等号，当c?b时，若d?b可以取等号， 所以等号可以取到…………………………………………10分 解法2：不妨设a?b?c，分4种情况讨论
[1] 若d?a，则f?a,b,c,d??f?a,c,b,d???a?b???d?c???a?c???d?b??0，
?f?a,b,c,d??f?a,c,b,d?…………………………………7分
[2] 若a?d?b，则f?a,b,c,d??f?a,c,b,d???a?b???d?c???a?c???d?b??0，
?f?a,b,c,d??f?a,c,b,d?…………………………………………8分
[3] 若b?d?c，则f?a,b,c,d??f?a,c,b,d???a?b???d?c???a?c???b?d??
2?d?b??0，?f?a,b,c,d??f?a,c,b,d?…………………………9分
[4] 若c?d，则f?a,b,c,d??f?a,c,b,d???a?b???c?d???a?c???b?d??
2?c?b??0，?f?a,b,c,d??f?a,c,b,d?…………………………10分
（3）设bi?i?2，1?i?n，?bn?是单调递增数列.
i分n是奇、偶数情况讨论 ………………………………………11分
f?a1,a2,...,an??x1a1?x2a2?L?xnan，其中x1,xn??1,?1?，x2,...,xn?1???2,0,2?，并且
x1?x2?L?xn?0.经过上述调整后的数列，系数x2,...,xn?1不可能为0.
nn?1个2和?1个?2，1个1和1个?1. 22n?1n?3当n为奇数时，有两种情况（1）系数中有个2和个?2，2个?1.
22n?1n?3（2）系数中有个?2和个2，2个1.
22当n为偶数时，系数中有
*[1] n是偶数，n?2k,k?2,k?N，
?2?b2k?L?bk?2??bk?1?bk?2?bk?1?L?b1?……………………13分
?2???2k??L??k?1??k?L?1???k??k?1??
2kk?1kkk?1?2?2?L?2?2?L?2?2?2 ??2k?1k?1=2k2?1?2?2?2?22?2?????
?2k2?1?22k?2?2k?3?2k?4
n12n?n?4?2?9?22?3……………………………………15分 2
*[2] n是奇数，n?2k?1,k?N，
因为b2k?2bk?1?bk?0，?2bk?2?bk?1?bk?bk?2?bk?1?2bk，可知
2?b2k?1?L?bk?2??bk?1?bk?2?bk?1?L?b1??2?b2k?1?L?bk?3??bk?2?bk?1?2?bk?L?b1?
f?a1,a2,...,an? ?f?bk,bk?2,b1,bk?3,b2,bk?4,b3,...,b2k?1,bk?1,b2k,bk?1?
?2?b2k?1?L?bk?2??bk?1?bk?2?bk?1?L?b1?…………………………17分
?2???2k+1??L??k?2???k?1??k?L?1??+?k?2?+?k?1??
2k+1k?2k+1k?1k?2?2?L?2?2?L?2+2+2 ??2k?2k?2?+3?2k ?2?k2?2?+?k?2?+?k?1??2?2?2?22?2?????2k2?2k?1?22k?3?13?2k?1?4
n?1125n?n?4?2?13?22?…………………………………………………18分 22?1nn2?4?2n?9?2综上，??f?a1,a2,...,an???max??2??3,?2?1n?1??2n2?4?2n?13?22?52
n是偶数，n?4 n是奇数，n?3
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