一种特殊的对应：映射
9 4 1 开平方 求正弦 3 ?3 2 ?2 1 ?1 30? 45? 60? 90? 122 23211 ?1 2 ?2 3 ?3 求平方 乘以2 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 （1） （2） （3） （4）
1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。
2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）
3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。
4．注意映射是有方向性的。
5．符号：f ： A B 集合A到集合B的映射。
6．讲解：象与原象定义。
再举例：1?A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1 是映射 2?A=N+ B={0,1} 法则：B中的元素x 除以2得的余数 是映射 3?A=Z B=N* 法则：求绝对值 不是映射（A中没有象）
4?A={0,1,2,4} B={0,1,4,9,64} 法则：f ：a b=(a?1)2 是映射
1
一一映射
观察上面的例图（2） 得出两个特点：
1?对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象 （单射）
2?集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 （满射） 即集合B中的每一个元素都有原象。
2
从映射的观点定义函数（近代定义）：
1?函数实际上就是集合A到集合B的一个映射 f：A B 这里 A, B 非空。 2?A：定义域，原象的集合
B：值域，象的集合（C）其中C ? B f：对应法则 x?A y?B
3?函数符号：y=f(x) —— y 是 x 的函数，简记 f(x)
函数的三要素： 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1．y1?(x?3)(x?5)
x?3y2?x?5 解：不是同一函数，定义域不同
2。 y1?x?1x?1 y2?(x?1)(x?1) 解：不是同一函数，定义域不同 3。 f(x)?x g(x)?x2 4．
解：不是同一函数，值域不同
f(x)?x F(x)?3x3 解：是同一函数
5．f1(x)?(2x?5)2 f2(x)?2x?5 解：不是同一函数，定义域、值域都不同
3
关于复合函数
设 f(x)=2x?3 g(x)=x2+2 则称 f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。 f[g(x)]=2(x2+2)?3=2x2+1 g[f(x)]=(2x?3)2+2=4x2?12x+11
例：已知：f(x)=x?x+3 求：f(
2
1) f(x+1) x111 解：f()=()2?+3 f(x+1)=(x+1)2?(x+1)+3=x2+x+3
xxx
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1. 函数定义域的求法
?
??分式中的分母不为零； ?
??偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ?
??指数式的底数大于零且不等于一； ?
??对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ?
??正切函数?
y?tanx...(x?R,且x?k???2,k??)
?x?R,且x?k?,k???
??余切函数y?cotx
?
??反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)
[?函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是
??,]22，
函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，
(?函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是
??,)22，
函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 注意，
1. 复合函数的定义域。
?x?1?(1,3)?2?x?(1,3) f(x)F(x)?f(x?1)?f(2?x)如：已知函数的定义域为（1，3），则函数的定义域。?
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2. 函数f(x)的定义域为(a,b),函数g(x)的定义域为(m,n),
?g(x)?(a,b)?x?(m,n)，解不等式，最后结果才是 f[g(x)]则函数的定义域为?
3.这里最容易犯错的地方在这里：
已知函数f(x?1)的定义域为(1,3),求函数f(x)的定义域；或者说，已知函数f(x?1)的定义域为(3,4),
则函数f(2x?1)的定义域为______?
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2. 函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.
（1）、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
y?例 求函数
1,x?[1,2]x的值域
（2）、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2y?x?2x?5,x?R的值域。 例、求函数
（3）、根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:
b型：直接用不等式性质2k+xbxb. y?2型,先化简，再用均值不等式x?mx?nx11 例：y???121+x2x+xx2?m?x?n?c.. y?2型 通常用判别式x?mx?nx2?mx?nd. y?型 x?n 法一：用判别式a. y? 法二：用换元法，把分母替换掉2x2?x?1（x+1）?（x+1）+1 1 例：y???（x+1）??1?2?1?1x?1x?1x?1
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4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
y?例 求函数
3x?45x?6值域。
y?3x?46y?43?5xy?6y?3x?4?x?y?5x?63?5y,分母不等于0,即5
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。 我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
ex?12sin??12sin??1y?xy?y?e?1，1?sin?，1?cos?的值域。 例 求函数
ex?11?yy?x?ex??01?ye?12sin??11?yy??|sin?|?||?1,1?sin?2?y2sin??1y??2sin??1?y(1?cos?)1?cos?2sin??ycos??1?y4?y2sin(??x)?1?y,即sin(??x)?1?y4?y21?y4?y2又由sin(??x)?1知?1
解不等式，求出y，就是要求的答案
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10.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
y?例 求函数
x?2x?3的值域
x?2x?3x?2?0时，1x?2?1??x?2?yx?2y?x?2?0时，y=0?0?y?
多种方法综合运用
1x?2?2?0?y?1212
总之，在具体求某个函数的值域时，
首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
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