2010年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文科)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合AB= A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝ 2．函数f(x)?lg(x?1)的定义域是
A．(2，??) B．(1,??) C．[1，??) D．[2，??) 3．若函数f(x)?3?3与g(x)?3?3的定义域均为R，则 A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
x?xx?xa３＝2a１，且a4与2a7的等差中项为4．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·则S5=
A．35 B．33 C．31 D．29
w_w w. k#s5_u.c o*m5，4??????5．若向量a=（1,1），b=（2,5），c=(3,x)满足条件 (8a－b)·c=30，则x=
A．6 B．5 C．4 D．3
6．若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x?2y?0相切，则圆O的方程是
w_w w. k#s5_u.c o*m
w_w*w.k_s_5 u.c*o*m2222A．(x?5)?y?5 B．(x?5)?y?5
C．(x?5)?y?5 D．(x?5)?y?5
7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A．
w_w w. k#s5_u.c o*m2222
4321 B． C． D． 555538．“x>0”是“x2>0”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
9．如图1， ?ABC为正三角形，AA//BB//CC，CC'?平面ABC且3AA'?则多面体ABC?ABC的正视图(也称主视图)是
''''''3'BB?CC'?AB，2w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算?和?如下：
o*mw_w w. k#s5_u.c
那么d? (a?c)?
A．a B．b C．c D．d 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题(11～13题)
11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4 (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若x1，x2，x3，
x4，分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为 .
w_w*w.k_s_5 u.c*o*m12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：
w_w w. k#s5_u.c o*m年份 2005 2006 12.1 8.8 2007 13 9.8 2008 13.3 10 2009 15 12 收入x 11.5 支出Y 6.8 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系.
13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则sinA= . w_w w. k#s5_u.c o*m （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=EF= .
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，?）（0??＜2?）中，曲线??cos??sin???1与??sin??cos???1的交点的极坐标为 .
w_w*w.k_s_5 u.c*o*ma，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则2三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16．（本小题满分14分）
设函数f?x??3sin??x?????6??，?＞0，x????,???，且以
?为最小正周期． 2（1）求f?0?；（2）求f?x?的解析式；（3）已知f?w_w.k_s_5 u.c*o*m????9???，求sin?的值．?412?5w_w*w
17．（本小题满分12分）
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ （3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.
w. k#s5_u.c o*mw_w*w 18.(本小题满分14分) 如图4，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平
.k_s_5 u w_w w. k#s5_u.c o*m面AEC外一点F满足FC?平面BED，FB=5a. （1）证明：EB?FD；
（2）求点B到平面FED的距离.
w_w*w.k_s_5 u.c*o*m19.（本小题满分12分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
ww_w*w.k_s_5 u.c*o*m20.（本小题满分14分）
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)?kf(x?2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间?0,2?上有表达式f(x)?x(x?2).
w_w w. k#s5_u.c o*m（1）求f(?1)，f(2.5)的值；
（2）写出f(x)在??3,3?上的表达式，并讨论函数f(x)在??3,3?上的单调性； （3）求出f(x)在??3,3?上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
21.（本小题满分14分）
w_w w. k#s5_u.c o*m2已知曲线Cn：y?nx，点Pn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点（n=1,2,…）.
（1）试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；
（2）若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求试点Pn的坐标(xn,yn)；（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，xn与yn是满足（2）中条件的点Pn的坐标， 证明：
?n?1s(m?1)xn?(k?1)yn?2ms?ks(s?1,2,…)w.w.ww.w.^w.k.s.5w_w w. k#s
2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科） 参考答案
题号 选项 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 D 7 B 8 A 9 D 10 A 1a? 14. 15. (1,) 222?316.解：（1）由已知可得：f(0)?3sin?
622????（2）∵f(x)的周期为，即? ∴??4 故f(x)?3sin(4x?)
?262a?a??? （3）∵f(?)?3sin[4?(?)?]?3sin(a?)?3cosa
4124126211. 1.5 12. 13；正（或正的） 13.
∴由已知得：3cosa?293即cosa? 55352 ∴sina??1?cosa??1?()??444故sina的值为或? 55517．解：（1）画出二维条形图，通过分析数据的图形，或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值
来分析，得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关；
（2）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大
于40岁的观众共有27人。
故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取
5?27?3人. 45（3）法一：由（2）可知，抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为a,b，若从5人中任取2名观众记作(x,y)，则包含的总的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共10个。其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)共6个. 故P(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=
63?； 105
18．法一：（1）证明：∵点B和点C为线段AD的三等分点， ∴点B为圆的圆心
又∵E是弧AC的中点，AC为直径， ∴BC?EB即BD?EB
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