释放毒素的浮游植物与浮游动物相互作用时滞模型分析

释放毒素的浮游植物与浮游动物相互作用时滞模型分析?

曼合布拜·热合木1，李晓娜2

【摘 要】本文研究了浮游动物捕食延迟对浮游植物-浮游动物相互作用的整体动力学影响.首先，文章给出了系统解的正性与有界性；其次，分析了系统平衡点的存在性及稳定性.进一步，建立了当时滞经过阈值时的Hopf分支，模型中的功能反应函数是Tissietxi型的.本文通过分析方法和数值模拟方法得到了模型的定性行为.

【期刊名称】新疆大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2019(036)003 【总页数】9

【关键词】时滞浮游植物-浮游动物；存在性；稳定性；Hopf分支

引文格式：曼合布拜·热合木,李晓娜.释放毒素的浮游植物与浮游动物相互作用时滞模型分析[J].新疆大学学报(自然科学版),2019,36(3):303-311.

英文引文格式：Mehbuba Rehim,LI X N.Analysis of a toxic producing phytoplankton-zooplankton interaction with delay[J].Journal of Xinjiang University(Natural Science Edition),2019,36(3):303-311． 基金项目：国家自然科学基金(11261058).

0 引言

在海洋生态学中，浮游生物系统是一个重要的研究领域.在过去的几十年里，全球范围内产生毒素的毒浮游植物(TTP)的水华数量有所增加.众所周知，浮游植物不仅是所有水生食物链的基础，而且还从周围环境吸收一半的二氧化碳为人类提供氧气[1].人们发现浮游植物种类在海洋和石灰岩环境中大量生长，其主要

特点是快速的细胞增殖和几乎同样快速的种群减少而导致生物量的增加.这种浮游植物种群密度的快速变化称为“水华”[2].由于高生物量的积累或毒素的存在，其中一些水华，更多的称为“有害藻类水华”(HAB)[3].近年来，由它们(HAB)导致经济损失、受影响的资源类型和有毒物种的数量也急剧增加[4?6].

关于“水华”发生的浮游动物和浮游植物相互作用的动力学行为研究引起了许多学者的兴趣.文献[5]研究了有害浮游植物物种可能导致死亡、生理损伤或其他负面原位效应的不同模式和机制.浮游动物放牧对有害藻华的影响是浮游生物生态学研究的一个重要方面.如果浮游动物群落对HAB初始阶段的放牧影响足够大，那么水华就不会发生[7].Mukhopadhyay等在文献[8]中考虑了浮游植物水华背景下水生环境中的营养浮游生物模型，研究了浮游动物放射对恒定养分输入下TPP浮游动物动力学行为的影响.在HAB物种存在的情况下，许多桡足类的放牧和繁殖能力会下降[7].在文献[8]中，作者讨论了浮游植物水华背景下水生环境中的营养浮游生物模型.

众所周知，由时滞微分方程描述的生物系统比普通微分方程系统描述的生物系统更具有丰富的动力学特性，许多研究人员对其进行了分析研究[9?15].延迟在生物现象中无处不在，因此，时滞在生物系统中的广泛应用.因为浮游植物释放有毒物质不是一个瞬时的和连续过程，而是遵循离散的时间变化，作者在文献[16]中提出并分析了一类时滞浮游植物浮游动物模型来解释时滞对浮游生物系统的影响.在文献[17]中，作者讨论了分支周期轨道的稳定性和浮游生物系统的时滞切换现象.许多研究者研究了具有不同时滞的浮游植物与浮游动物相互作用模型，但考虑浮游动物捕食延迟的模型较少.在本文中，我们假设毒性过程是“水华”形成的指导因素，但与现有的具有毒素释放的浮游植物浮游动物相互

作用模型不同.更准确地说，考虑到浮游植物的大量繁殖，我们在模型中引进了Tissiet功能反应函数.这种类型的功能反应考虑到了这样一个事实，即在毒性较大的浮游植物密度下，可以降低捕食率.

1 数学模型

对于给定的模型系统，进行了以下假设:

(i)P(t)和Z(t)分别是TPP种群和浮游动物种群在t时刻的密度；

(ii)r是浮游植物种群的固有增长率，K是TPP种群的环境容纳量,μ和β分别是浮游动物的最大摄取量和每单位生物量的浮游植物对浮游动物的转换率(β<μ)； (iii)D是浮游动物的自然死亡率；

(iv)有害浮游植物种类对浮游动物放牧的影响用Tissiet型功能反应函数模拟,这里α是半饱和常数；

(v)由较高的捕食者(如鱼)等引起的浮游动物种群在垂直和水平迁移过程中所花费的时间用τ表示,称为浮游动物捕食时滞；

(vi)假设对浮游动物种群以固定的收获率E进行商业开发. 由以上假设得到下面的模型

为了减少模型(1)中参数的数量，对模型(1)作以下变换

则得到关于变量P?,Z?的系统，去掉变量中的?得到以下形式的模型 系统(3)的初始值为 这里(φ1,φ2)∈C([?τ,0],).

2 解的正性与有界性

本节讨论系统(3)具有初值(4)解的正性与有界性.

定理1 假设?τ≤θ≤0，φ1(θ)≥0,φ2(θ)≥0，且P(0)>0,Z(0)>0,则