第2课时 正、余弦定理的综合问题
与三角形面积有关的问题(多维探究) 角度一 计算三角形的面积
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B
π
＝，则△ABC的面积为 ． 3
(2)(2020·河南开封模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝3ab，且acsin B＝23sin C，则△ABC的面积为 ．
π
【解析】 (1)法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2
3π11π
＋c2－2×2c×ccos ，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×43×23×sin
3223＝63.
π
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos
3ππ1
，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×23×6＝63. 322
(2)因为
a2＋b2－c2＝
a2＋b2－c23ab3
3ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C
2ab2ab2
π11
＝.因为acsin B＝23sin C，所以结合正弦定理可得abc＝23c，所以ab＝23.故S△ABC＝absin C＝622π3×23sin＝.
62
【答案】 (1)63 (2)
求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
角度二 已知三角形的面积解三角形
(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，
(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为32，则ab＝ ，a＋b＝ ．
【解析】 因为(3b－a)cos C＝ccos A，所以利用正弦定理可得3sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝
3
2
sin(A＋C)＝sin
1
B．又因为sin B≠0，所以cos C＝，则C为锐角，所以
3
221
sin C＝.由△ABC的面积为32，可得absin C＝32，所以ab＝9.由c是a，b的等比中项可得c2＝
3211
ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，所以(a＋b)2＝ab＝33，所以a＋b＝33.
3
【答案】 9
已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．
25
1．(2020·江西九江模拟考试)在△ABC中，AC＝5，BC＝10，cos A＝，则△ABC的面积为( )
55
A. 2C．10
B．5 D．
10 2
33
解析：选A.由AC＝5，BC＝10，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcos A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝1－cos2A＝5155
，故S△ABC＝×5×5×＝.选A. 5252
2．(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)B＋C
＝csin.
2
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为3，周长为8，求a. A
解：(1)由题设得asin C＝ccos，
2A
由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos，
2A
所以sin A＝cos ，
2
AAAA1
所以2sincos＝cos，所以sin＝，
22222所以A＝60°.
1
(2)由题设得bcsin A＝3，从而bc＝4.
2
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝(b＋c)2－12.
13
又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝.
4
三角形面积或周长的最值(范围)问题(师生共研)
A＋C
(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.
2(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． A＋C
【解】 (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
2A＋C
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
2由A＋B＋C＝180°，可得sin
A＋CBBBB
＝cos，故cos＝2sincos. 22222
BB1
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
222(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝
3
a. 4
csin Asin（120°－C）31
由正弦定理得a＝＝＝＋.
sin Csin C2tan C2由于△ABC为锐角三角形，故0° 133 所以30° 282因此，△ABC面积的取值范围是? 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题 在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解． (一题多解)(2020·赣州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 角A，B，C成等差数列，且b＝ 3 . 2 33? . ，2??8 (1)求△ABC外接圆的直径； (2)求a＋c的取值范围． 解：(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C， π 又因为A＋B＋C＝π，所以B＝. 3 32b根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1. sin Bπ sin3π2π2π (2)法一：由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜. 333由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得， abc ＝＝＝1， sin Asin Bsin C所以a＋c＝sin A＋sin C 2π?＝sin A＋sin??3－A? ＝3? 31?sin A＋cos A 2?2? π A＋?. ＝3sin??6? 2πππ5π 因为0＜A＜，所以＜A＋＜. 3666π1 A＋?≤1， 所以＜sin??6?2从而 π3 A＋?≤3， ＜3sin??6?2 3?，3. ?2? 所以a＋c的取值范围是?π 法二：由(1)知，B＝， 3 b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac a＋c?13 ≥(a＋c)2－3?＝(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，因为b＝，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤3， 2?2?4又三角形两边之和大于第三边，所以所以a＋c的取值范围是? 3?，3. ?2? 解三角形与三角函数的综合应用(师生共研) (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，3cos x)，x∈R，设函数 1 f(x)＝m·n＋. 2 (1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间； 1 (2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝22，△ABC的面积为， 2 2 3 ＜a＋c≤3， 2
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