求a的值．
π1
2x＋?＋1. 【解】 (1)由题意知，f(x)＝cos2x＋3sin xcos x＋＝sin?6??2πππππ
－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z，解得x∈?－＋kπ，＋kπ?，k∈Z， 令2x＋∈?26??3?6?2ππ
－＋kπ，＋kπ?，k∈Z. 所以函数f(x)的递增区间为?6?3?π
2A＋?＋1＝2， (2)因为f(A)＝sin?6??π
2A＋?＝1. 所以sin?6??
ππ13ππππ
因为0＜A＜π，所以＜2A＋＜，所以2A＋＝，即A＝.
66662611
由△ABC的面积S＝bcsin A＝，得bc＝2，
22
又b＋c＝22，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 解得a＝3－1.
标注条件，合理建模
解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．
△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a－2ccos B.
(1)求角C的大小；
π
B＋?的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值． (2)求3cos A＋sin??3?解：(1)法一：在△ABC中，由正弦定理可知sin B＝2sin A－2sin Ccos B， 又A＋B＋C＝π，
则sin A＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)，于是有sin B＝2sin(B＋C)－2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C－2sin Ccos B，
整理得sin B＝2sin Bcos C，又sin B≠0， 1
则cos C＝，
2π
因为0 3 a2＋c2－b2 法二：由题可得b＝2a－2c·， 2ac整理得a2＋b2－c2＝ab， 1 即cos C＝， 2π 因为0 3 ππ (2)由(1)知C＝，则B＋＝π－A， 33 ππ B＋?＝3cos A＋sin(π－A)＝3cos A＋sin A＝2sin?A＋?， 于是3cos A＋sin??3??3?2π2π 因为A＝－B，所以0 33ππ 所以 33 πππ A＋?的最大值为2，此时B＝. 故当A＝时，2sin??3?62 [基础题组练] 1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝7，c＝4，cos A＝面积等于( ) A．37 C．9 解析：选B.因为cos A＝37B. 29D． 2 73137，则sin A＝，所以S△ABC＝×bcsin A＝，故选B. 4422 7 ，则△ABC的4 π 2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为23，则c＝( ) 3A．27 C．22 B.7 D．23 13 解析：选D.由S＝absin C＝2a×＝23，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12， 22故c＝23. 3．(2020·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B＝1∶3，c＝2cos C＝3，则△ABC的周长为( ) A．3＋33 C．3＋23 B．23 D．3＋3 解析：选C.因为sin A∶sin B＝1∶3，所以b＝3a， a2＋b2－c2a2＋（3a）2－c23 由余弦定理得cos C＝＝＝， 2ab22a×3a 又c＝3，所以a＝3，b＝3，所以△ABC的周长为3＋23，故选C. 4．(2020·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝5，△ABC的面积S＝ A．1 C.13 解析：选A.因为b＝2，c＝5，S＝5 cos A，则a＝( ) 2 B.5 D．17 511 cos A＝bcsin A＝5sin A，所以sin A＝cos A. 222 1525 所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.易得cos A＝. 445 25 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋5－2×2×5×＝9－8＝1，所以a＝1.故选A. 5 5．(2020·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为43，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为( ) A．10 C．8＋3 B．12 D．8＋23 1 解析：选B.因为△ABC的面积为43，所以acsin B＝43.因为2bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得 22sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin 1π A＝2cos B·sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8， 23所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B. π 6．在△ABC中，A＝，b2sin C＝42sin B，则△ABC的面积为 ． 4解析：因为b2sin C＝42sin B， 所以b2c＝42b，所以bc＝42， 112 S△ABC＝bcsin A＝×42×＝2. 222答案：2 π 7．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中，A＝，b＝4，a＝23，则B＝ ，△ 3ABC的面积等于 ． π4×sin3bsin Aπ 解析：△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1.又B为三角形的内角，所以B＝，所以 a223c＝b2－a2＝42－（23）2＝2， 1 所以S△ABC＝×2×23＝23. 2 π 答案： 23 2 sin A5c78．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ sin B2b4 ABC＝ 57 ，则b的值为 ． 4 sin A5ca5c5 解析：由＝?＝?a＝c，① sin B2bb2b2 15771 由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，② 2442联立①，②得a＝5，且c＝2. 由sin B＝73且B为锐角知cos B＝， 44 3 由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝14. 4答案：14 3 9．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a. 7(1)求sin C的值； (2)若a＝7，求△ABC的面积． 3 解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a， 7csin A3333所以由正弦定理得sin C＝＝×＝. a72143 (2)因为a＝7，所以c＝×7＝3. 7 1 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得72＝b2＋32－2b×3×， 2解得b＝8或b＝－5(舍)． 113 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝63. 222 10．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acos C＝(2b－3c)cos A. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值． 解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C＝2sin Bcos A－3sin Ccos A， 从而3sin(A＋C)＝2sin Bcos A， 即3sin B＝2sin Bcos A.
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