2008年硕士研究生入学考试试题考试科目代码：856河南科技大学考试科目名称：高等代数（如无特殊注明，所有答案必须写在答题纸上，否则以“0”分计算）一、（15分）计算下列各题：1、（5分）已知4阶行列式D的第3行元素分别为?1,0,2,4，第4行元素对应的余子式依次是5,10,a,4，求a的值.?1?20?
??
2、（5分）已知矩阵A,B满足关系AB?B?A，其中B??210?，求矩阵A.?002???
3、（5分）设A为3阶方阵A的伴随矩阵，A=2，计算行列式|(3A)
*
?1
?
1*
A|的值.2
011?110x?x
二、（15分）计算n(n?3)阶行列式：Dn?1
（注释：该行列式主对角线上元x0?x。?????1xx?0
素都是0，第一行和第一列除去第一个位置的元素是0外，其余的都是1，行列式中其余的元素都是x。要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）.三、（30分）证明下列各题1、（10分）如果(f(x),g(x))?1，那么(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1.2、（10分）A为n阶方阵，如果A?A，则：秩(A?E)?秩(A)=n，其中E是n阶单位矩阵.3、（10分）2
?是线性空间V上的可逆线性变换，则?的特征值一定不为0.?x1?
?
x2
x2
?
x4
?0
，又已知某4元齐?0
四、（15分）设4元齐次线性方程组?i?为?
?0???1?
????12
次线性方程组?ii?的通解为：k1???k2??,(k1,k2为任意常数).?1??2?????0???1?
第1页(共2页)
（1）（5分）求方程组?i?的基础解系；（2）（10分）问方程组?i?与?ii?是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.五、（20分）设实二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2?x2x3通过正交线性变换22X?PY化成标准形f?2y12?2y2??y3，求常数?,?的值及所用的正交线性变换矩阵P.222六、（15分）符号L(?1,?2,?,?m)表示由向量?1,?2,?,?m生成的子空间。设有子空间?????x1??x1?
????????
xx????
V1?????2?x1?x2?x3?x4?0?，V2?????2?x1?x2?x3?x4?0?.?x3??x3??????????????x4??x4?????
（1）（5分）将V1和V2用符号L(?1,?2,?,?m)的形式表示出来；（2）（10分）求子空间V1?V2和V1?V2的维数和一组基.七、（10分）列向量?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n是R空间的两组基，线性变换?在?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n下的矩阵分别为A和B，证明：A和B是相似的.八、（15分）如果向量?可以由向量组?1,?2,?,?m线性表出，证明：表示方法是惟一的充分必要条件是向量组?1,?2,?,?m线性无关.九、（15分）设A是m阶实对称矩阵且正定，B为m?n实矩阵，B?为B的转置矩阵，证明：B?AB
为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?n.n
第2页(共2页)
河南科技大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码：856科目名称：高等代数一、（15分）计算下列各题：1、（5分）已知4阶行列式D的第3行元素分别为?1,0,2,4，第4行元素对应的余子式依次是5,10,a,4，求a的值。?1?20?
??
2、（5分）已知矩阵A,B满足关系AB?B?A，其中B??210?，求矩阵A。?002???
3、（5分）设A为3阶方阵A的伴随矩阵，A=2，计算行列式|(3A)解：1、因为a31A41?a32A42?a33A43?a34A44?0，??
*
?1
?
1*
A|。2
(3分)
这里aij和Aij分别是第i行第j列处的元素和该元素的代数余子式，21
。??(5分)2
1??
0??12??1?1
2、因为AB?A?B，所以A(B?E)?B，A?B(B?E)???10?，??(5分)
?2??002?????
1*1?12?123?14?1?1
3、|(3A)?A|=|A?A|=|?A|=(?)|A|=?。??(5分)
233327
011?110x?x
二、（15分）计算n(n?3)阶行列式：Dn?1x0?x。（注释：该行列式主对角?????
所以有?1?（-5）?0?10?2?（?a）?4?4?0，可得a?
1xx?0
线上元素都是0，第一行和第一列除去第一个位置的元素是0外，其余的都是1，行列式中其第1页（共9页）余的元素都是x。要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）。解（法一）：0
1Dn?1
?111?10x?x
x0?xr1?(?x)?ri,(i?2,3,?,n)????xx?00111?x010?x???100?1
?0
?0??(6分)????x
当x?0时，再把第j列的1
倍加到第1列（j?2,3,?,n），就把Dn化成了上三角行列式x1??(12分)
n?111x0?x0Dn?00?x???000??0?(?1)n?1(n?1)xn?2，?0????x当x?0时，显然有Dn?0。所以总有Dn?(?1)n?1(n?1)xn?2。??(15分)
（法二）：把第2行的（-1）倍分别加到第3,4,?,n行，得010Dn??00110xx?x??x0x0?11?xx?00?????x0?0?x??(6分)
再按第一列展开，得11x?xDn???
x0
x
0
?1?0????x?
0
1n?1100?x?li?1?l1,(i?2,3,?,n)??000?x
??(15分)
0
0
?1
?0????x?
0
10?0?x
?(?1)n?1(n?1)xn?2。第2页（共9页）三、（30分）证明下列各题1、（10分）如果(f(x),g(x))?1，那么(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。2、（10分）A为n阶方阵，如果A?A，则：秩(A?E)?秩(A)=n，其中E是n阶单位矩阵。3、（10分）2
?是线性空间V上的可逆线性变换，则?的特征值一定不为0。解：1、令p(x)是f(x)g(x)和f(x)?g(x)的任一个公因式，则p(x)整除f(x)和g(x)之一，比如说整除f(x)，那么也整除(f(x)?g(x))?f(x)?g(x)，??(4分)这也就说明p(x)是f(x)和g(x)的公因式，??(8分)
由(f(x),g(x))?1，可知(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。??(10分)2、由于A?A，所以A(A?E)?0，所以又因为A?(E?A)?E，所以而2
秩(A?E)?秩(A)?n，??(4分)
秩(E?A)?秩(A)?秩(E)?n，??(8分)
秩(E?A)?秩(A?E)，??(9分)(10分)
(3分)
所以有秩(A?E)?秩(A)=n。??
3、设向量?是线性变换?的关于特征值?的特征向量，则?????，??用线性变换?的逆变换??1
作用上面式子的两端，则有???(??1?)，??(6分)
由于特征向量??0，所以??0。??(10分)?x1?
?
x2x2
?
x4
?0?0
，又已知某4四、（15分）设4元齐次线性方程组?i?为?
?0???1?
????12
元齐次线性方程组?ii?的通解为：k1???k2??,(k1,k2为任意常数)。?1??2?????0???1?
（1）（5分）求方程组?i?的基础解系；第3页（共9页）
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