?a＝2解得?，
?b＝3
故所求椭圆方程为＋＝1.
43
x2y2
y＝k（x－m）??22
(2)联立方程?xy，整理得：
＋＝1??43
(3＋4k)x－8kmx＋4km－12＝0.
2
2
2
22
2
??
在Δ＞0的情况下有?，
4km－12
??xx＝3＋4k22
12
2
8kmx1＋x2＝2
3＋4k|MA|＋|MB|＝(1＋k)[(x1－m)＋(x2－m)] ＝(1＋k)[(x1＋x2)－2x1x2－2m(x1＋x2)＋2m] 1＋k222
＝22[(－24k＋18)m＋96k＋72]， （3＋4k）3322
令－24k＋18＝0，得k＝，即k＝±.
42此时|MA|＋|MB|＝7与m无关符合题意．
探索性问题的求解方法
(1)处理这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出与已知、定理或公理相符的结论，则存在性得到肯定；若导致矛盾，则否定存在性．若证明某结论不存在，也可以采用反证法．
(2)采用特殊化思想求解，即根据题目中的一些特殊关系，归纳出一般结论，然后进行证明，得出结论．
[对点训练]
(2019·丽水市高考数学模拟)如图，已知抛物线C：x＝4y，直线l1与C相交于A，B两点，线段AB与它的中垂线l2交于点G(a，1)(a≠0)．
2
2
2
22
2
2
22222
(1)求证：直线l2过定点，并求出该定点坐标；
(2)设l2分别交x轴，y轴于点M，N，是否存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
则???x1＝4y1??
x2， 2＝4y2两式相减可得(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)， 可得ky1－y2AB＝
x－x＝x1＋x2＝2a＝1
a， 12442
由两直线垂直的条件可得直线l2
2的斜率为－a； 即有直线l＝－2
2：ya(x－a)＋1，
可得l2
2：y＝－ax＋3过定点(0，3)．
(2)l22：y＝－ax＋3过M??3a?2，0???
，N(0，3)， 假设存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上， 由中垂线的性质可得∠MAN＝∠MBN， 可得∠MAN＝90°，即有|AG|2
＝|MG||NG|，
?由??y＝a2（x－a）＋1，可得x2－2ax＋2a2
－4＝0， ??x2＝4yx1＋x2＝2a，x1x2＝2a2－4，
2
由弦长公式可得|AB|＝1＋
a22
4
4a－4（2a－4）
＝
1＋a224
16－4a，
即有|MG||NG|＝
1＋a22
4＋2?|AB|?4a＝??2??
2
2
＝???1＋a4???(4－a2)，所以???1＋a4???(4－a2
)＝122(a＋4)，
所以a2
＝2，解得a＝±2. 故存在这样的实数a，且为±2.
专题强化训练
x2
y2
1．已知方程2－k＋2k－1
＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
?1?A.?，2? ?2?
C．(1，2)
B．(1，＋∞)
?1?D.?，1? ?2?
解析：选C.由题意可得，2k－1>2－k>0，
??2k－1>2－k，即?解得1
2．(2019·浙江高考冲刺卷)已知F为抛物线4y＝x的焦点，点A，B都是抛物线上的点→→且位于x轴的两侧，若OA·OB＝15(O为原点)，则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为( )
15565
A. B. C. D. 8242解析：选D.设直线AB的方程为：x＝ty＋m，
2
A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)，
??4y＝x2?，可得4y－ty－m＝0， ?x＝ty＋m?
2
根据根与系数的关系有y1·y2＝－，
4→→
因为OA·OB＝15，
所以x1·x2＋y1·y2＝15，从而16(y1·y2)＋y1·y2－15＝0， 因为点A，B位于x轴的两侧， 所以y1·y2＝－1，故m＝4.
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，如图所示．又F(
1
，0)， 16
65y12
×＝32y1
2
m111652
所以S△ABO＋S△AFO＝×4×(y1－y2)＋×y1＝y1＋≥2
221632y165
， 2
652865
当且仅当y1＝，即y1＝时，取“＝”号，所以△ABO与△AFO面积之和的最小值
32y165是
65
，故选D. 2
x2y2
3．(2019·绍兴市柯桥区高考数学二模)已知l是经过双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)
ab的焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB＝60°，则双曲线的离心率的最大值为( )
A.
23
B.3 C．2 D．3 3
解析：选A.设双曲线的焦点F(c，0)，直线l：x＝c， 可设点P(c，n)，A(－a，0)，B(a，0)， 由两直线的夹角公式可得
nn－??c＋ac－ak－k??＝
tan∠APB＝??? n?1＋k·k??
?1＋c－a?
PAPB2
PAPB22
＝
2a|n|2a＝ n2＋（c2－a2）c2－a2|n|＋|n|
＝tan 60°＝3，
c2－a2
由|n|＋≥2
|n|
可得3≤c2－a222
|n|·＝2c－a，
|n|
，
ac2－a2
2322
化简可得3c≤4a，即c≤a，
3即有e＝≤
c23
.
a3
232222当且仅当n＝±c－a，即P(c，±c－a)，离心率取得最大值. 3故选A.
4．(2019·福州质量检测)已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，准线为l.若射线y＝2(x－|PQ|
1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则＝( )
|PF|
A.2 B．2 C.5 D．5
解析：选C.由题意知，抛物线C：y＝4x的焦点F(1，0)，准线l：x＝－1与x轴的交点
??x＝－1
为F1.过点P作直线l的垂线，垂足为P1，由?，得点Q的坐标为(－1，－
?y＝2（x－1），x≤1?
2
2
4)，所以|FQ|＝25.
又|PF|＝|PP1|，
|PQ||PQ||QF|25
所以＝＝＝＝5，故选C.
|PF||PP1||FF1|2
x2y2x2y2
5．(2019·鄞州中学期中)已知椭圆C1：2＋2＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：2－2＝1(a2
a1b1a2b2
＞0，b2＞0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则9e1＋e2的最小值是( )
A．4 B．6 C．8 D．16
解析：选C.设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2，取椭圆与双曲线在一象限内的交点为P，由椭圆和双曲线的定义分别有|PF1|＋|PF2|＝2a1①，|PF1|－|PF2|＝2a2②，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|＋|PF2|＝4c③，
①＋②，得|PF1|＋|PF2|＝2a1＋2a2④，
9cc9a2a1
将④代入③得a＋a＝2c，则9e＋e＝2＋2＝5＋2＋2≥8，
a1a22a12a2
2
1
22
2
21
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
故9e1＋e2的最小值为8.
22
x2y2
6．(2019·金华十校二模)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为42，虚轴的一
ab个端点与抛物线x＝2py(p＞0)的焦点重合，直线y＝kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选A.抛物线x＝2py的焦点为?0，?，所以可得b＝，因为2a＝42?a＝22，
2?2?
2
2
?
p?
px24y2pp所以双曲线的方程为－2＝1，可求得渐近线方程为y＝±x，不妨设y＝kx－1与y＝
8p4242p?y＝x－12p2?p2?2p?
x平行，则有k＝.联立?42?x－x＋2p＝0，所以Δ＝?－?－8p＝0，
22??4222??x2＝2py解得p＝4.
7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知椭圆的方程为＋＝1，过椭圆中心的
94直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长的最小值为________，△ABF2的面积的最大值为________．
解析：连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得C△ABF2＝AF2
＋BF2＋AB＝AF1＋AF2＋AB＝6＋AB≥6＋4＝10，
x2y2
S△ABF2＝S△AF1F2≤·25·2＝25.
答案：10 25
12
x2y2
8．(2019·东阳二中改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直线
abl交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．
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