(新课标)2020版高考数学二轮复习专题一 三角恒等变换与解三角形练习(理)新人教A版

(1)求角A；

(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．

解：(1)由2(c－acos B)＝3b及正弦定理得2(sin C－sin Acos B)＝3sin B， 所以2sin(A＋B)－2sin Acos B＝3sin B，即2cos Asin B＝3sin B， 因为sin B≠0，所以cos A＝

3π，又0

(2)因为a＝2，由正弦定理得b＝4sin B，c＝4sin C， 11

所以S△ABC＝bcsin A＝bc，

24

5π?5π?所以S△ABC＝4sin Bsin C，因为C＝π－(A＋B)＝－B，所以sin C＝sin?－B?，

6?6?所以S△ABC＝4sin Bsin?

3??5π－B?＝4sin B?1

??cos B＋sin B?，

?6?2?2?

2

即S△ABC＝2sin Bcos B＋23sinB ＝sin 2B－3cos 2B＋3 π??＝2sin?2B－?＋3.

3??

5πππ4π

因为0

6333所以－

π?3?

3?2?

所以0

即△ABC面积的取值范围为(0，2＋3]．

2

4．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，AB边上的高h＝c.

33

(1)若△ABC为锐角三角形，且cos A＝，求角C的正弦值；

5π

(2)若C＝，M＝

4

a2＋b2＋c2

ab，求M的值．

13

解：(1)作CD⊥AB，垂足为D，

3

因为△ABC为锐角三角形，且cos A＝，

544

所以sin A＝，tan A＝，

53所以AD＝，BD＝AB－AD＝， 22

cc - 9 -

2c5c22

所以BC＝CD2＋BD2

＝???3c???＋???2???

＝6， c×

4

由正弦定理得sin∠ACB＝ABsin ABC＝55c＝2425

.

6(2)因为S1212

△ABC＝2c×3c＝2absin∠ACB＝4ab，

所以c2

＝324

ab，

又a2

＋b2

－c2

＝2abcos∠ACB＝2ab， 所以a2

＋b2

＝2ab＋c2

，

所以a2＋b2

＋13c2＝2ab＋424323c＝2ab＋3×4

ab＝22ab，a2＋b2＋1c2

所以M＝3

2abab＝

2ab＝22.

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