全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)

V?(a)?25?a??13(1?2a)??827(1?a)?0， 得

54a?45?90a?40?40a?0 即

4a?5?0

因此

a??54,b?32,c?1.

七、（15分）已知un(x)满足u?(x)?un(x)?xn?1ex(n?1,2,?), 且uenn(1)?n, ?数项级数?un(x)之和.

n?1解

u?n(x)?un(x)?xn?1ex， 即

y??y?xn?1ex

由一阶线性非齐次微分方程公式知

y?ex(C??xn?1dx)

即

?ex(C?xnyn)

因此

u(x)?ex(C?xnnn)

由en?u1)?e(C?1n(n)知，C?0， 于是

xnexun(x)?n

下面求级数的和：

令

??(x)??uxnexSn(x)?n?1?n?1n

则

?xnex?x)?exS?(x)??(xn?1ex?)?S(n?1xn?1n?xe?S(x)?n?11?x

即

(x)?S(x)?exS?1?x

由一阶线性非齐次微分方程公式知

精选

求函S(x)?ex(C??1dx) 1?x?n?1令x?0，得0?S(0)?C，因此级数?un(x)的和

S(x)??exln(1?x)

?八、（10分）求x?1时, 与?xn等价的无穷大量.

?2n?0解 令f(t)?xt，则因当0?x?1，t?(0,??)时，f?(t)?2txtlnx?0，故

f(t)?x?et2?t2ln1x22在(0,??)上严格单调减。因此

f(t)dt??f(n)?f(0)???n?0n?1???0???0f(t)dt???n?0??0?n?1??nnn?1f(t)dt?1????0f(t)dt

即

?又

?f(t)dt??f(n)?1??n?0f(t)dt，

?n?0f(n)??xn，

n?0?211?limx?limx?1 x?11?xx?1?1ln???0f(t)dt????0xdt??e0t2???t2ln1xdt?1ln1???0e?tdt?21ln?12x，

x?21??所以，当x?1时, 与?xn等价的无穷大量是。

21?xn?0

精选