克拉默法则及其推广在方程组求解中的应用

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ??????amx1?am2x2???amnxn?bm（1）若R(A)?R(B)?n，则方程组只有唯一解；

（2）若R(A)?R(B)?n，则该非齐次线性方程组有无穷组解； （3）R(A)?R(B)，则方程组无解。

定理2.2[5] （齐次线性方程组解的存在性定理）对于齐次线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn ??????amx1?am2x2???amnxn?0（1）若R(A)?n，则该齐次线性方程组有唯一的零解； （2）若R(A)?n，则该齐次线性方程组有无穷多组非零解。 定理2.3[6] 任何矩阵A?aij??m?n都可以经过一系列初等行变换化为阶梯型矩

阵，矩阵A的秩等于其相应阶梯型矩阵非零行的行数。

2.2 克拉默法则及其证明

从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 2.2.1 二元一次方程组克拉默法则

?ax?ax?b我们已经知道二元一次方程组?1111221，在a11a22?a12a21?0时有唯一

?a21x1?a22x2?b2b1a12a11b1ba22abba?abba?ab解，即x1?122122?2，x2?211211?212

a11a22?a12a21a11a12a11a22?a12a21a11a12a21a22a21a22分母为二元一次方程组的系数保持原来位置构成的行列式，称为系数行列式，记为D。x1的分子为系数行列式第一列换为方程组等号右边的常数列构成的行列式，记为D1。x2的分子为系数行列第二列换为方程组等号右边的常数列构成的行

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列式，记为D2。这三个行列式表示为D?样，在D?0时，方程组的解为x1?莱姆（Cramer）法则。

2.2.2 n元线性方程组克拉默法则

a11a12a21a22,D1?b1b2a12a22，D2?a11b1a21b2，这

D1D,x2?2，这个结论称为二元一次方程组克DD 定理2.4[6] (克拉默法则)设n元线性方程组为

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 （2） ??????an1x1?an2x2???annxn?bn若系数行列式D?0，则方程组有唯一解，即

DDDx1?1,x2?2,?,xn?n （3）

DDD其中，Di(i?1,2,?,n),是把系数行列式D的第i列元素换为方程组等号右边的常数列b1,b2,?,bn所得的n阶行列式，系数行列式D为

a11a21D??an1a12a22?an2?a1n?a2n

???ann

2.2.3 克拉默法则的几种简单证明方法

证法1 不失一般性，仅就（2）在n?3时的情况证明，这时（2）可写成

?a11?a?21??a31a12a22a32a13??x1??b1??x???b? a23???2??2?a33????x3????b3??进一步可写成：

?a11 ??a21??a31a12a22a32a13??x1?xa23???2a33????x300??b1?b00????200????b300?00?? （4） 00??又因为有：

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?a11 ??a21??a31a12a22a32a13??000??0a12?010???0aa23?22????a33????001????0a32a13?a23?? (5) a33??将（3）、（4）用矩阵加法得：

?a11 ??a21??a31a12a22a32a13??x1?xa23???2a33????x3

00??b1?b10????201????b3a12a22a32a13?a23?? (6) a33??对（6）式两端取行列式：Dx1?D1，因为D?0,故x1?类似地可以得到：x2?D2D,x3?3。证毕。 DDa11a12?a1,i?1D1. Da1ixia2ixi?anixia1,i?1?a1na2,i?1?a2n

??an,i?1?anna21 证法2 欲证Dxi?Di，Di??an1a22?a2,i?1??an2?an,i?1把上述行列式的第j列乘以xj,j?1,2,?,i?1,i?1,?,n，加到第i列上，这

a11Dxi?a21?an1a11a21 =

?an1a12?a1,i?1?a?ai?1ni?1i?1nn1iixa1,i?1?a1na2,i?1?a2n ???an,i?1?anna22?a2,i?1???an2?an,i?1a12?a1,i?12iix?nii?ab1xa1,i?1?a1na22?a2,i?1b2a2,i?1?a2n

???????an2?an,i?1bnan,i?1?ann =Di

所以Dxi?Di，又因为D?0,则：x1?DD1D,x2?2,?,xn?n， DDD故，若方程组有解，则其解必为（3）。 另外，不难验证（3）的确是方程组的解。 故（3）是方程组的唯一解，得证。 证法3 （1）唯一性

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若（2）有解，且x1,x2,x3,?,xn为其任一解，则

x1?10a12?an2a12?an2?00-10?00a11x1D???0x2an10?a1nb1a11=

?????annbnan1000a12?a1n=D1

???an2?ann?1?0a12?a1n=D2?

???an2?ann?0?1a1n ?ann?1?0a11x2D???0xn00an1?a1nb1a11=

?????annbnan1?1a1n00xnD?0?0a11?a1,n?1?an1?an,n?1???b1a11?a1,n?1=

?????annbnan1?an,n?1b1a11?a1,n?1 =(?1)n?3????=(?1)n?3?(?1)n?1Dn?Dn

bnan1?an,n?1由于D?0,故x1?（2）存在性

考虑有两行相同的n?1阶行列式

b1b2bna11a11an1a12a12an2a1na1nannDD1D,x2?2,?,xn?n DDD0?=b1D?a11D1?a12D2???a1nDn

DD1D?a122???a1nn?b1 DDDDDD同理可验算1,2,?,n也满足其余方程，故（3）是方程组（2）的解。

DDD由于D?0，故a11

3 克拉默法则的推广

3.1 广义的克拉默法则

定义3.1[6] 设aijn?n是数域F上的一个n阶行列式，又B1,B2,?,Bn为F上的n第12页 (共19页)