2021新高考版大一轮复习用书数学第三章 3.3

ln x＋1

解析　f (x)＝xln x＋mex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x>0)，令f′(x)＝0，得－m＝，xeln x＋1

设g(x)＝，

ex

1

g′(x)＝

x－ln x－1ex1

1

(x>0)，令h(x)＝－ln x－1，

x

1

则h′(x)＝－－<0(x>0)，

x2x

∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，

∴当x∈(0,1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，1

故g(x)max＝g(1)＝，

e

而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，

若f (x)在两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，

1

1

只需0<－m<，故－

ee

16．已知f (x)＝ax－ln x，当x∈(0，e]时，是否存在实数a，使得f (x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

1

解　假设存在实数a，使得f (x)＝ax－ln x(x∈(0，e])的最小值为3，由题意知f′(x)＝a－＝xax－1x.①当a≤0时，在(0，e]上恒有f′(x)<0，函数f (x)在(0，e]上单调递减，所以f (x)min＝f (e)＝ae－1＝3，

4

即a＝，不满足a≤0，舍去．

e

1

②当0<

aaa所以f (x)min＝f

1

()a

1

()1

(]1

＝1＋ln a＝3，即a＝e2，满足条件．

4

1

③当≥e时，f (x)在(0，e]上单调递减，f (x)min＝f (e)＝ae－1＝3，即a＝，不满足≥e，舍aea

去．

综上所述，当x∈(0，e]时，存在实数a＝e2，使得f (x)的最小值为3.