第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图
[基础题组练]
1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB，
AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AC，最短的是AD
解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB 2．如图所示，上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( ) A．①② C．③④ B．②③ D．①⑤ 解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件； 当截面不过旋转轴时， 圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件； 故截面图形可能是①⑤. 3．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( ) - 1 - 解析：选C.当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案C. 4．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为( ) 图为 解析：选D.由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D. 5．(2019·福建漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( ) A.5 C．3 B．22 D．23 解析：选C.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1-MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝22，D1M＝MC＝5，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C. - 2 - 6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为________． 解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角 三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之（2＋4）×2和为×2＝12. 2 答案：12 7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为______cm. 解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C. 在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)． 所以AB＝12＋5＝13(cm)． 答案：13 8．已知正四棱锥V-ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________． 解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥V-ABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝22. 因为一条侧棱长为211， 所以VO＝VA-AO＝44－8＝6. 所以正四棱锥V-ABCD的高为6. 答案：6 9．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图所示(单位：cm)． (1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积． 2 2 2 2 - 3 - 解：(1)如图． (2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥 ＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843 3 (cm)． 10．已知正三棱锥V-ABC的正视图和俯视图如图所示． (1)画出该三棱锥的直观图和侧视图． (2)求出侧视图的面积． 解：(1)如图． - 4 - (2)侧视图中VA＝ 2 3?2?2 4－?××23?＝12＝23. ?32? 1 则S△VBC＝×23×23＝6. 2 [综合题组练] 1．(创新型)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( ) A．圆弧 C．椭圆的一部分 B．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分 解析：选D.根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D. 2．(创新型)某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为( ) A．48 B．64 - 5 -
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