再归一化得
y2=(0.156564,0.126162,0.467833,1.0)T。
我们称上述迭代过程为归一化迭代。记m(x)为x的绝对值最大的分量（若有超过一个分量的绝对值都是最大，则取最前面的分量）。归一化迭代过程可写为： 对给定的迭代矩阵A及初始向量x，令x1?Ax0,y1?x1/m(xn). 若已经得到xk,yk，则令xk?1?Ayk,yk?1?xk?1/m(xk?1)。
练习9 对上面的例子，继续计算xn,yn(n?1,2,```)，。观察?xn?,?yn?及m(xn)的极限是否存在。
如果?yn?的极限存在，那么它的极限是一个什么向量呢？
由于?yn?的极限存在，显然m(xn)的极限也存在，记limyn?y,limm(xn)??。对
n??n??yn?1m(xn)Ayn?1
两边同时取极限，有
1y?Ay，m(xn)
?即Ay??y，这说明y是对应于A的某个特征值的特征向量的。
那么，归一化跌代过程在什么情况下收敛呢？下面的定理给出了一个收敛的充分条件。 定理 设m阶实方阵A有m个线性无关的向量?1,?2```,?m，A的m个特征值满足下列关系（?i对应的特征向量为?i(i?1,2,```,m)）：
?1??2??2?```??m。
则对任意的非零初始向量x0?a1?1?a2?2?```?am?m(a1?0)，按上述迭代过程得到
x1,x2,```及y1,y2,```，有
limyn?a?1（a其中是一个非零常数），
n??limm(xn)??1。
n??练习10 求出A的所有特征值与特征向量，并与练习9的结论做对比。 练习11 取B?0.01A,x0?(1,2,3,4)具体进行归一化迭代过程。
归一化迭代的方法实际上求出了矩阵A的绝对值最大的特征值及对应的特征向量。这种求
T特征值及对应的特征向量的方法称为乘幂法。 2.3 天气问题
问题1 某地区的天气可分为两种状态：晴、阴雨。若今天的天气为晴，则明天晴的 概率为3/4，阴雨的概率为1/4；如果今天为阴雨天，则明天晴的概率为7/18，阴雨的 概率为11/18。我们可以用一矩阵A1来表示这种变化矩阵A1称为转移矩阵（这些概率可以通过观察该地区以往几年每天天气变化的测量数据来确定）。 明天 今天 晴 阴雨
?3晴?4A1??阴雨?1?47?18? 11??18?试根据这些数据来判断该地区的天气变化情况。
问题2 若该地区的天气分为三种状态：晴、阴、雨。对应的转移矩阵为： 明天 今天
晴 阴 雨
3晴?4?A2?阴?18?雨1??81112441?4?1? 2?14??试根据这些数据来判断该地区的天气变化情况。
我们与读者一起一来解决这两个问题。 设某一天晴的概率为p1p(0)(0)(0)T(0)(1)，阴雨的概率为p2，我们将这一天的天气状态 用向量
?(p1,p2)来表示，k天之后的天气状态用向量p(k)显然，?(p1,p2)来表示。
(k)(k)T对1 天之后，有 3(0)7(0)?(1)p?p?p21?1418?1(0)11(0)(1)?p2?p1?p2418?
即p(1)?A1p(0)，
于是，p(k)?A1p(k?1)?```?A1kp(0)。也就是说，天之后，晴`阴雨的概率组成的向量为p(k)?A1pk(0).
假设p(0)?(0.5,0.5)T，可以计算出若干天之后的天气状态，见表9.1。
于是，pk=A1pk-1=?=A1kp0。也就是说，k天之后，晴、阴雨的概率组成的向量为p（k）（）
=A1kp0。
（）
假设p0=（0.5,0.5）T,可以计算出若干天之后的天气状态,见表9.1.
（）
表9.1 取p0=（0.5,0.5）T时,若干天后的天气状态
（
）
（）
k 0 1 2 3 4 5 6 p（k） k 7 8 9 10 11 12 13 （k）p（k） 0.500000,0.500000 0.569444,0.430556 0.594522,0.405478 0.603577,0.396423 0.606847,0.393153 0.608028,0.391972 0.608455,0.391545 0.608609,0.381391 0.608664,0.391336 0.608684,0.391316 0.608692,0.391308 0.608694,0.391305 0.608695,0.391305 0.608695,0.391305 均约等于p*=（0。608695，0。391305）
易见,到第12天之后,晴、阴雨的概率便稳定下来，p
T。
练习12 设p(0)?(0.5,0.25,0.25)T，对问题2求出若干天之后的天气状态，并求出其特点（取六位有效数字）。
上面求出的p与矩阵A1有什么关系呢？ 由于p(12)*?p(13)???p，显然有p?A1p。若存在向量特征向量使得p?A1p，
_***__则A1有一特征值为1，p为A1的对应于特征值1的特征向量。那么p与A1的特征向量p是否相等呢？
ti c Mathemaa软件中的命令Eigenvalues?A1? 与Eigenvectors?A1?可以用来求A1的特
*_征值与特征向量。求得A1的一个特征向量为?0.841178,0.540758q?k?0.841178,0.540758?T。事实上
?T均为特征向量。而p*的两个分量之和为1，为了将q与p*作
T?5?1,0.7584078，即取k?0.7236，对比，可令k?0.84112此时有?0q??0.6086,0.9359135p一致。 ，与
T*练习13 求解A1的特征方程，从而精确求出A1的特征值与特征向量，p与A1的
*特征向量有什么关系？
练习14 对于问题2，求出矩阵A2的特征值与特征向量，并将特征向量与练习
12中的结论作对比。
在问题1中，对p(0)??0.5,0.5?，我们可以发现若干天之后的天气状态是稳定的，
T那么对于其他的初始状态p(0)，情况又如何呢？
练习15对问题1与2，取随机的初始向量p(0)，观察p(k)是否逐渐稳定。 注1 注2
取随机的初始向量p(0)时，p(0)的分量之和必须取为1。 可多次取随机的初始向量p(0)，重复观察。
在上面的推导中，均采用近似计算。比如，我们对p(0)?(0.5,0.5)T，通过近似计算， 发现对通k?12，有p(k)?p*?(0.608695,0.3913065)T。那么，如果我们直接求出 p(k)的通项公式是否能得出这一结果呢？下面用不同于9.1节的方法来求p(k)的通项公式。 设p是A1的对应于特征值?的特征向量，则有 A1p??p， A21p?A1(?p)=A1(?p)??(A1p)??p，
2类似地有
Ak1p??kp。 因此，若p(0)?p，则
(k) p?Ak1p??p。
k
设二阶矩阵A1有两个特征向量p1，p2对于一般的初始状态向量p(0)= (p1(0),p2(0))T, 如果能将p(0)写成p1, p2的线性组合，p(0)=up1+vp2,则有 p(k)= Ak1 p(0) =A1(up1?vp2) =uAk1kp1?vAk1p2 p2
=u?1p1?v?kk2
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