江苏省如皋中学2018—2019学年度第二学期高三
数学三模模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I卷（必做题 共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。 1.已知集合A??3,9?，B??a,???．若A?B，则实数a的取值范围是 ．???,3? 2. 设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝_______3＋2i
3. 已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，
4
则至少有2个白球的概率为_________ 5
4. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为_______20 5. 在△ABC中，若(a﹣b)(sinA＋sinB)＝(c﹣b)sinC，a＝3，则b2＋c2的取值范围是_____ (5，6] 6. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体
的体积为______82 7. 设S?1?111111??1???1???122222323242?1?11，则不大于S的?2220142015最大整数[S]是__． 2014
ax3?x?a,x?a8. 已知函数f(x)?{3，若对于任意的实数a，总存在x0，使得f(x0)?0，则x0ax?x?a,x?a的取值范围是____[?1,0)?(0,1]
9.已知函数f(x)?x?3|x?a|(a?R),x?[?2,2]，若函数y?f(x)的最大值为11，则实数a的取值为____1,3
x10.函数 函数g(x)?lo2则g,方程f(x)?g(x)的实根个数
3是 ． 3
11.已知圆O1,O2均与x相切，且两圆心与原点共线，两圆心的横坐标之积为8.则两圆交点到直线
abc
12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则cosAcosBcosC2cos A3cos B6cos C
1
＝ .
1013. 在平面直角坐标系xOy中已知圆C满足：圆心在x轴上，且与圆x2?(y?2)2?1相外切.设圆C与x轴的交点为M,N，若圆心C在x轴上运动时，在y轴正半轴上总存在定点P，使得?MPN为定值，则点P的纵坐标为 ．3 ．．．
14.已知正实数x,y满足x3?y3?2x?y?0，若存在正实数x,y使得
2x?y?10?0距离的最小值为_______25?22 12x?ay2?1成立，则实数2a的最小值为__1
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分14分）如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C?平面ABCD,且AB?BC?CA?3,AD?CD?1. （1）求证：BD?AA1;
（2）若E为棱BC的中点，求证：AE//平面DCC1D1.
解：⑴在四边形ABCD中，因为BA?BC，DA?DC，所以BD?AC，
又平面AAC11C?平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCD?AC，
A1 B1 D1
C1
D BD?平面ABCD，所以BD?平面AA1C1C，
又因为AA1?平面AA1C1C，所以BD?AA1．
⑵在三角形ABC中，因为AB?AC，且E为BC中点，所以AE?BC， 又因为在四边形ABCD中，AB?BC?CA?3，DA?DC?1， 所以?ACB?60?，?ACD?30?，所以DC?BC，所以AE因为DC?平面DCC1D1，AE?平面DCC1D1，所以AEA 第15题
C
E B
DC，
平面DCC1D1．
sinA?3cosA共线，其中A是△ABC16. （本小题满分14分）已知向量m?sinA，1与n?3，2????的内角．
（1）求角A的大小； （2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.
（1）因为m//n,所以sinA?(sinA?3cosA)?3?0. ……………2分
2所以1?cos2A?3sin2A?3?0，即3sin2A?1cos2A?1，即sin2A?π?1. …4分
222226??11π. …5分故2A?π?π，A?π.……7分 因为A?(0,π) , 所以2A?π??π，623666（2）由余弦定理，得 4?b2?c2?bc.…8分 又S?ABC?1bcsinA?3bc，…9分 24 而b2?c2≥2bc?bc?4≥2bc?bc≤4，（当且仅当b?c时等号成立） ……11分
所以S?ABC?1bcsinA?3bc≤3?4?3. ……12分
244当△ABC的面积取最大值时，b?c.又A?π，故此时△ABC为等边三角形. …14分
3
17. （本小题满分14分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB = y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB = AC ? 1，且∠ABC = 60．（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？ 【解析】试题分析：
o
??(1)利用题意结合余弦定理可得函数的解析式，其定义域是.
(2)结合(1)的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价
为490万元.
km
（1）（x ＞ 1）；（2）时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．
2x2y218. （本小题满分16）在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率e?，
2ab且点P(2,1)在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）若点A,B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上． ①求直线AB的斜率； ②求?AOB面积的最大值．
（2）①法一、设A?x1,y1?,B?x2,y2?,M?x0,y0?，直线AB的斜率为k
?x12y12??122?x12?x2y12?y2?63??0， 则?2，∴263?x2?y2?1?3?62x02y0?k?0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 6311又直线OP:y?x,M在线段OP上，所以y0?x0，
22∴
所以k??1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
法三、设A?x1,y1?,B?x2,y2?,M?x0,y0?，直线AB的方程为y?kx?m，
?y?kx?m?222则?x2y2，∴?1?2k?x?4kmx?2m?6?0，
?1??63?由题意，??0 所以x1?x2??∴x0??4km，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
1?2k22kmi 2??1?2k11又直线OP:y?x,M在线段OP上，所以y0?x0?ii?，
22M在直线AB上，∴y0?kx0?m?iii?
解?i??ii??iii?得：k??1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②设直线AB的方程为y??x?m,m??0,3?，
?y??x?m?22则?x2y2，∴3x?4mx?2m?6?0，
?1??3?6
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