课时达标检测(二十三) 正弦定理和余弦定理
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 利用正、余弦定理解三角形
7
1.(2018·安徽合肥一模)△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,c
8-a=2,b=3,则a=( )
A.2 C.3
5B. 27D. 2
222
71b+c-a
解析:选A 由题意可得c=a+2,b=3,cos A=,由余弦定理,得cos A=·bc,
8222
79+?a+2?-a
代入数据,得=,解方程可得a=2.
82×3?a+2?
2.(2018·湖北黄冈质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=A=2B,则cos B=( )
A.C.5 35 5
B.D.5 45 6
5b,2
解析:选B 由正弦定理,得sin A=B,所以cos B=
5
. 4
5
sin B,又A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos 2
3.(2018·包头学业水平测试)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2Ba1
=2sin Asin C,且a>c,cos B=,则c=( )
4
A.2 C.3
2
3B. 2D.4
a2+c2-b2a2+c2-2ac1
解析:选A 由正弦定理可得b=2ac,故cos B===,化简2ac2ac4a
得(2a-c)(a-2c)=0,又a>c,故a=2c,=2,故选A.
c
4.(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已a
知2bsin 2A=asin B,且c=2b,则b=( )
A.2
B.3
C.2 D.3
解析:选A 由2bsin 2A=asin B,得4bsin A·cos A=asin B,由正弦定理得4sin B·sin 1A·cos A=sin A·sin B,∵sin A≠0,且sin B≠0,∴cos A=,由余弦定理得a2=b2+4b2-
4a
b2,∴a2=4b2,∴b=2.故选A.
5.(2018·兰州一模)△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,c=2a,bsin B1
-asin A=asin C,则sin B的值为( )
2
22A.
3C.7 4
2
2
3B. 41D. 3
a2+c2-b2122
解析:选C 由正弦定理,得b-a=ac,又c=2a,所以b=2a,所以cos B=
22ac37
=,所以sin B=. 44
对点练(二) 正、余弦定理的综合应用
c1.(2018·武汉调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 b则△ABC为( ) A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 csin C 解析:选A 根据正弦定理得= bsin B 即sin C B<0,又三角形中sin A>0,∴cos B<0, 2 2.(2018·湖南邵阳一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知三个向ABC a,cos ?,n=?b,cos ?,p=?c,cos ?共线,则△ABC的形状为( ) 量m=?2?2?2???? A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 AB a,cos ?,n=?b,cos ?共线, 解析:选A ∵向量m=?2?2???BABA ∴acos =bcos .由正弦定理得sin Acos =sin Bcos . 2222AABBBAAB ∴2sin cos cos =2sin cos cos ,∴sin =sin . 22222222 AπBπAB ∵0<<,0<<,∴=,∴A=B.同理可得B=C,∴△ABC为等边三角形.故选 222222A. 3.(2018·福建八校联考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为S= 2221?22?a+c-b?2?ac-.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用4?2??? “三斜求积”公式求得△ABC的面积为( ) A.3 C.3 B.2 D.6 解析:选A 由正弦定理得a2c=4a,所以ac=4,且a2+c2-b2=12-2ac=4,代入面积公式得 1 ×?16-22?=3. 4 4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b=c,b1-cos B=.若点O是△ABC外一点,∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2,OBacos A=1,如图所示,则四边形OACB面积的最大值是( ) 4+53 A. 4C.3 8+53B. 44+5D. 2 b1-cos B 解析:选B 由a=及正弦定理得sin Bcos A=sin A-sin Acos B,所以sin(A cos A+B)=sin A,所以sin C=sin A,因为A,C∈(0,π),所以C=A,又b=c,所以A=B=C,△ABC为等边三角形.设△ABC的边长为k,则k2=12+22-2×1×2×cos θ=5-4cos π5313353θ-?+θ,则S四边形OACB=×1×2sin θ+k2=sin θ+(5-4cos θ)=2sin?≤2+=?3?424448+538+53ππ5π ,所以当θ-=,即θ=时,四边形OACB的面积取得最大值,且最大值为. 43264 35.(2018·广东揭阳模拟)已知△ABC中,角A,B,C成等差数列,且△ABC的面积 2为1+2,则AC边的长的最小值是________. 3π 解析:∵A,B,C成等差数列,∴A+C=3B,又A+B+C=π,∴B=.设角A,B, 241 C所对的边分别为a,b,c,由S△ABC=acsin B=1+2得ac=2(2+2),由余弦定理及a2 2+c2≥2ac,得b2≥(2-2)ac,即b2≥(2-2)×2(2+2),∴b≥2(当且仅当a=c时等号成立),∴AC边的长的最小值为2. 答案:2 6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积S=a2-(b-c)2,且b+c=8,则S的最大值为________. 11 解析:由题意知bcsin A=a2-b2+2bc-c2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得bcsin 22A-2bc=-2bccos A,因为bc≠0,所以sin A=4-4cos A,则1-cos2A=16(1-cos A)2,得1581 cos A=,sin A=,b+c=8≥2bc,当且仅当b=c时取等号,因而bc≤16,那么S= 17172bcsin A≤ 64. 17 64 答案: 17 对点练(三) 解三角形应用举例 1.(2018·山西康杰中学月考)海上有三个小岛A,B,C,测得∠BAC=135°,AB=6,AC=32,若在B,C两岛的连线段之间建一座灯塔D,使得灯塔D到A,B两岛距离相等,则B,D间的距离为( ) A.310 C.13 B.10 D.32 解析:选B 由题意可知,D为线段AB的垂直平分线与BC的交点,设BD=t.由余弦3定理可得BC2=62+(32)2-2×6×32cos∠BAC=90,解得BC=310.由cos∠ABC== t62+?310?2-?32?2 ,解得t=10.故选B. 2×6×310 2.(2018·河北唐山摸底)一艘海监船在某海域实施巡航监视,由A岛向正北方向行驶80海里至M处,然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处,再沿南偏东30°方向行驶303海里至B岛,则A,B两岛之间的距离是________海里. 502+802-AN2解析:连接AN,则在△AMN中,应用余弦定理可得cos 60°=,即AN 2×50×80=70. 502+702-8021 应用余弦定理可得cos∠ANM==, 72×50×70所以sin∠ANM= 43 . 7 ?303?2+702-AB2 在△ANB中,应用余弦定理可得cos∠ANB=,而cos∠ANB= 2×303×70cos(150°-∠ANM)=cos 150°cos∠ANM+sin 150°sin∠ANM= 33 , 14
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