课时达标检测（二十三） 正弦定理和余弦定理
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 利用正、余弦定理解三角形
7
1．(2018·安徽合肥一模)△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，c
8－a＝2，b＝3，则a＝( )
A．2 C．3
5B. 27D. 2
222
71b＋c－a
解析：选A 由题意可得c＝a＋2，b＝3，cos A＝，由余弦定理，得cos A＝·bc，
8222
79＋?a＋2?－a
代入数据，得＝，解方程可得a＝2.
82×3?a＋2?
2．(2018·湖北黄冈质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝A＝2B，则cos B＝( )
A.C.5 35 5
B.D.5 45 6
5b，2
解析：选B 由正弦定理，得sin A＝B，所以cos B＝
5
. 4
5
sin B，又A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos 2
3．(2018·包头学业水平测试)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2Ba1
＝2sin Asin C，且a>c，cos B＝，则c＝( )
4
A．2 C．3
2
3B. 2D．4
a2＋c2－b2a2＋c2－2ac1
解析：选A 由正弦定理可得b＝2ac，故cos B＝＝＝，化简2ac2ac4a
得(2a－c)(a－2c)＝0，又a>c，故a＝2c，＝2，故选A.
c
4．(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已a
知2bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则b＝( )
A．2
B．3
C.2 D.3
解析：选A 由2bsin 2A＝asin B，得4bsin A·cos A＝asin B，由正弦定理得4sin B·sin 1A·cos A＝sin A·sin B，∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos A＝，由余弦定理得a2＝b2＋4b2－
4a
b2，∴a2＝4b2，∴b＝2.故选A.
5．(2018·兰州一模)△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsin B1
－asin A＝asin C，则sin B的值为( )
2
22A.
3C.7 4
2
2
3B. 41D. 3
a2＋c2－b2122
解析：选C 由正弦定理，得b－a＝ac，又c＝2a，所以b＝2a，所以cos B＝
22ac37
＝，所以sin B＝. 44
对点练(二) 正、余弦定理的综合应用
c1．(2018·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 b则△ABC为( ) A．钝角三角形 C．锐角三角形 B．直角三角形 D．等边三角形 csin C 解析：选A 根据正弦定理得＝ bsin B 即sin C B<0，又三角形中sin A>0，∴cos B<0， 2 2．(2018·湖南邵阳一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知三个向ABC a，cos ?，n＝?b，cos ?，p＝?c，cos ?共线，则△ABC的形状为( ) 量m＝?2?2?2???? A．等边三角形 C．直角三角形 B．等腰三角形 D．等腰直角三角形 AB a，cos ?，n＝?b，cos ?共线， 解析：选A ∵向量m＝?2?2???BABA ∴acos ＝bcos .由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos . 2222AABBBAAB ∴2sin cos cos ＝2sin cos cos ，∴sin ＝sin . 22222222 AπBπAB ∵0<<，0<<，∴＝，∴A＝B.同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形．故选 222222A. 3．(2018·福建八校联考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝ 2221?22?a＋c－b?2?ac－.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用4?2??? “三斜求积”公式求得△ABC的面积为( ) A.3 C．3 B．2 D.6 解析：选A 由正弦定理得a2c＝4a，所以ac＝4，且a2＋c2－b2＝12－2ac＝4，代入面积公式得 1 ×?16－22?＝3. 4 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b＝c，b1－cos B＝.若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2，OBacos A＝1，如图所示，则四边形OACB面积的最大值是( ) 4＋53 A. 4C．3 8＋53B. 44＋5D. 2 b1－cos B 解析：选B 由a＝及正弦定理得sin Bcos A＝sin A－sin Acos B，所以sin(A cos A＋B)＝sin A，所以sin C＝sin A，因为A，C∈(0，π)，所以C＝A，又b＝c，所以A＝B＝C，△ABC为等边三角形．设△ABC的边长为k，则k2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos π5313353θ－?＋θ，则S四边形OACB＝×1×2sin θ＋k2＝sin θ＋(5－4cos θ)＝2sin?≤2＋＝?3?424448＋538＋53ππ5π ，所以当θ－＝，即θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值，且最大值为. 43264 35．(2018·广东揭阳模拟)已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积 2为1＋2，则AC边的长的最小值是________． 3π 解析：∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝3B，又A＋B＋C＝π，∴B＝.设角A，B， 241 C所对的边分别为a，b，c，由S△ABC＝acsin B＝1＋2得ac＝2(2＋2)，由余弦定理及a2 2＋c2≥2ac，得b2≥(2－2)ac，即b2≥(2－2)×2(2＋2)，∴b≥2(当且仅当a＝c时等号成立)，∴AC边的长的最小值为2. 答案：2 6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝a2－(b－c)2，且b＋c＝8，则S的最大值为________． 11 解析：由题意知bcsin A＝a2－b2＋2bc－c2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得bcsin 22A－2bc＝－2bccos A，因为bc≠0，所以sin A＝4－4cos A，则1－cos2A＝16(1－cos A)2，得1581 cos A＝，sin A＝，b＋c＝8≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，因而bc≤16，那么S＝ 17172bcsin A≤ 64. 17 64 答案： 17 对点练(三) 解三角形应用举例 1．(2018·山西康杰中学月考)海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝32，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛距离相等，则B，D间的距离为( ) A．310 C.13 B.10 D．32 解析：选B 由题意可知，D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，设BD＝t.由余弦3定理可得BC2＝62＋(32)2－2×6×32cos∠BAC＝90，解得BC＝310.由cos∠ABC＝＝ t62＋?310?2－?32?2 ，解得t＝10.故选B. 2×6×310 2．(2018·河北唐山摸底)一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶303海里至B岛，则A，B两岛之间的距离是________海里． 502＋802－AN2解析：连接AN，则在△AMN中，应用余弦定理可得cos 60°＝，即AN 2×50×80＝70. 502＋702－8021 应用余弦定理可得cos∠ANM＝＝， 72×50×70所以sin∠ANM＝ 43 . 7 ?303?2＋702－AB2 在△ANB中，应用余弦定理可得cos∠ANB＝，而cos∠ANB＝ 2×303×70cos(150°－∠ANM)＝cos 150°cos∠ANM＋sin 150°sin∠ANM＝ 33 ， 14
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