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2018-2019学年高中一轮复习理数:课时达标检测(二十三) 正弦定理和余弦定理

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课时达标检测(二十三) 正弦定理和余弦定理

[小题对点练——点点落实]

对点练(一) 利用正、余弦定理解三角形

7

1.(2018·安徽合肥一模)△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,c

8-a=2,b=3,则a=( )

A.2 C.3

5B. 27D. 2

222

71b+c-a

解析:选A 由题意可得c=a+2,b=3,cos A=,由余弦定理,得cos A=·bc,

8222

79+?a+2?-a

代入数据,得=,解方程可得a=2.

82×3?a+2?

2.(2018·湖北黄冈质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=A=2B,则cos B=( )

A.C.5 35 5

B.D.5 45 6

5b,2

解析:选B 由正弦定理,得sin A=B,所以cos B=

5

. 4

5

sin B,又A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos 2

3.(2018·包头学业水平测试)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2Ba1

=2sin Asin C,且a>c,cos B=,则c=( )

4

A.2 C.3

2

3B. 2D.4

a2+c2-b2a2+c2-2ac1

解析:选A 由正弦定理可得b=2ac,故cos B===,化简2ac2ac4a

得(2a-c)(a-2c)=0,又a>c,故a=2c,=2,故选A.

c

4.(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已a

知2bsin 2A=asin B,且c=2b,则b=( )

A.2

B.3

C.2 D.3

解析:选A 由2bsin 2A=asin B,得4bsin A·cos A=asin B,由正弦定理得4sin B·sin 1A·cos A=sin A·sin B,∵sin A≠0,且sin B≠0,∴cos A=,由余弦定理得a2=b2+4b2-

4a

b2,∴a2=4b2,∴b=2.故选A.

5.(2018·兰州一模)△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,c=2a,bsin B1

-asin A=asin C,则sin B的值为( )

2

22A.

3C.7 4

2

2

3B. 41D. 3

a2+c2-b2122

解析:选C 由正弦定理,得b-a=ac,又c=2a,所以b=2a,所以cos B=

22ac37

=,所以sin B=. 44

对点练(二) 正、余弦定理的综合应用

c1.(2018·武汉调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

b则△ABC为( )

A.钝角三角形 C.锐角三角形

B.直角三角形 D.等边三角形

csin C

解析:选A 根据正弦定理得=

bsin B

即sin C

B<0,又三角形中sin A>0,∴cos B<0,

2

2.(2018·湖南邵阳一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知三个向ABC

a,cos ?,n=?b,cos ?,p=?c,cos ?共线,则△ABC的形状为( ) 量m=?2?2?2????

A.等边三角形 C.直角三角形

B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

AB

a,cos ?,n=?b,cos ?共线, 解析:选A ∵向量m=?2?2???BABA

∴acos =bcos .由正弦定理得sin Acos =sin Bcos . 2222AABBBAAB

∴2sin cos cos =2sin cos cos ,∴sin =sin .

22222222

AπBπAB

∵0<<,0<<,∴=,∴A=B.同理可得B=C,∴△ABC为等边三角形.故选

222222A.

3.(2018·福建八校联考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=

2221?22?a+c-b?2?ac-.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用4?2???

“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )

A.3 C.3

B.2 D.6

解析:选A 由正弦定理得a2c=4a,所以ac=4,且a2+c2-b2=12-2ac=4,代入面积公式得

1

×?16-22?=3. 4

4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b=c,b1-cos B=.若点O是△ABC外一点,∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2,OBacos A=1,如图所示,则四边形OACB面积的最大值是( )

4+53

A. 4C.3

8+53B. 44+5D. 2

b1-cos B

解析:选B 由a=及正弦定理得sin Bcos A=sin A-sin Acos B,所以sin(A

cos A+B)=sin A,所以sin C=sin A,因为A,C∈(0,π),所以C=A,又b=c,所以A=B=C,△ABC为等边三角形.设△ABC的边长为k,则k2=12+22-2×1×2×cos θ=5-4cos π5313353θ-?+θ,则S四边形OACB=×1×2sin θ+k2=sin θ+(5-4cos θ)=2sin?≤2+=?3?424448+538+53ππ5π

,所以当θ-=,即θ=时,四边形OACB的面积取得最大值,且最大值为. 43264

35.(2018·广东揭阳模拟)已知△ABC中,角A,B,C成等差数列,且△ABC的面积

2为1+2,则AC边的长的最小值是________.

解析:∵A,B,C成等差数列,∴A+C=3B,又A+B+C=π,∴B=.设角A,B,

241

C所对的边分别为a,b,c,由S△ABC=acsin B=1+2得ac=2(2+2),由余弦定理及a2

2+c2≥2ac,得b2≥(2-2)ac,即b2≥(2-2)×2(2+2),∴b≥2(当且仅当a=c时等号成立),∴AC边的长的最小值为2.

答案:2

6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积S=a2-(b-c)2,且b+c=8,则S的最大值为________.

11

解析:由题意知bcsin A=a2-b2+2bc-c2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得bcsin

22A-2bc=-2bccos A,因为bc≠0,所以sin A=4-4cos A,则1-cos2A=16(1-cos A)2,得1581

cos A=,sin A=,b+c=8≥2bc,当且仅当b=c时取等号,因而bc≤16,那么S=

17172bcsin A≤

64. 17

64

答案:

17

对点练(三) 解三角形应用举例

1.(2018·山西康杰中学月考)海上有三个小岛A,B,C,测得∠BAC=135°,AB=6,AC=32,若在B,C两岛的连线段之间建一座灯塔D,使得灯塔D到A,B两岛距离相等,则B,D间的距离为( )

A.310 C.13

B.10 D.32

解析:选B 由题意可知,D为线段AB的垂直平分线与BC的交点,设BD=t.由余弦3定理可得BC2=62+(32)2-2×6×32cos∠BAC=90,解得BC=310.由cos∠ABC==

t62+?310?2-?32?2

,解得t=10.故选B.

2×6×310

2.(2018·河北唐山摸底)一艘海监船在某海域实施巡航监视,由A岛向正北方向行驶80海里至M处,然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处,再沿南偏东30°方向行驶303海里至B岛,则A,B两岛之间的距离是________海里.

502+802-AN2解析:连接AN,则在△AMN中,应用余弦定理可得cos 60°=,即AN

2×50×80=70.

502+702-8021

应用余弦定理可得cos∠ANM==,

72×50×70所以sin∠ANM=

43

. 7

?303?2+702-AB2

在△ANB中,应用余弦定理可得cos∠ANB=,而cos∠ANB=

2×303×70cos(150°-∠ANM)=cos 150°cos∠ANM+sin 150°sin∠ANM=

33

, 14

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