2018-2019学年高中一轮复习理数：课时达标检测(二十三) 正弦定理和余弦定理

222

33?303?＋70－AB所以＝，

142×303×70

解得AB＝70. 答案：70

3．(2018·贵州遵义第一次联考)某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.

解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝所以AD＝

AEsin 45°2AB

＝，

sin 30°cos 15°

2×10

×sin 60°＝10(3－3)．

cos?45°－30°?

AB

， cos 15°

因此CD＝ADsin 60°＝答案：10(3－3)

[大题综合练]

1．(2018·湖北部分重点中学适应性训练)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos(A－B)＝2sin Asin B.

(1)判断△ABC的形状；

(2)若a＝3，c＝6，CD为角C的平分线，求CD的长． 解：(1)由cos(A－B)＝2sin Asin B，得 cos Acos B＋sin Asin B＝2sin Asin B， ∴cos Acos B－sin Asin B＝0， ∴cos(A＋B)＝0，∴C＝90°. 故△ABC为直角三角形．

(2)由(1)知C＝90°，又a＝3，c＝6， ∴b＝c2－a2＝33，A＝30°， ∠ADC＝180°－30°－45°＝105°. 由正弦定理得

CDAC

＝， sin Asin∠ADC

3333192－36

∴CD＝×sin 30°＝×＝. sin 105°26＋22

4

2．(2017·云南昆明二模)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos

1

∠BAC＝－，AB＝32，BD＝3.

3

(1)求AD的长； (2)求△ABC的面积．

1

解：(1)因为AD⊥AC，cos∠BAC＝－，

322

所以sin∠BAC＝. 3

π22＋∠BAD?＝cos∠BAD＝又sin∠BAC＝sin?， ?2?3

在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0， 解得AD＝5或AD＝3， 由于AB>AD，所以AD＝3.

BDAB

(2)在△ABD中，＝，

sin∠BADsin∠ADB又由cos∠BAD＝所以sin∠ADB＝

221

，得sin∠BAD＝， 336， 3

6. 3

则sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝π

因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，

2所以cos∠C＝

6. 3

6， 3

在Rt△ADC中，cos∠C＝则tan∠C＝

2AD3＝＝， 2ACAC

所以AC＝32.

1122

则△ABC的面积S＝AB·AC·sin∠BAC＝×32×32×＝62.

223

3．(2018·河南郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足π?π－C?. ＋C?·cos 2C－cos 2A＝2sin?sin?3??3?

(1)求角A的值；

(2)若a＝3且b≥a，求2b－c的取值范围．

321

cosC－sin2C?， 解：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2?4?4?3

化简得sin A＝±，

2因为A为△ABC的内角， 所以sin A＝

3， 2

π2π故A＝或. 33

π

(2)因为b≥a，所以A＝. 3

bca

由正弦定理得＝＝＝2，

sin Bsin Csin A得b＝2sin B，c＝2sin C， 故2b－c＝4sin B－2sin C 2π?＝4sin B－2sin??3－B?

π

B－?. ＝3sin B－3cos B＝23sin??6?π2π

因为b≥a，所以≤B<，

33πππ

则≤B－<， 662

π

B－?∈[3，23)． 所以2b－c＝23sin??6?