e为自然对数的底数)的解集为导学号 84624252( A )
A．(0，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
[解析] 设g(x)＝exf(x)－ex，(x∈R)，
则g′(x)＝exf(x)＋exf ′(x)－ex＝ex[f(x)＋f ′(x)－1]， ∵f(x)＋f ′(x)＞1，∴f(x)＋f ′(x)－1＞0， ∴g′(x)＞0，
∴y＝g(x)在定义域上单调递增， ∵exf(x)＞ex＋3，∴g(x)＞3， 又∵g(0)＝e0f(0)－e0＝4－1＝3， ∴g(x)＞g(0)，∴x＞0，故选A． 二、填空题
3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为__－1__.导学号 84624253 [解析] y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)， 1
令y′＝0解得x＝或x＝－1.
3
当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2； 122
当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.
327所以函数的最小值为－1.
xf ′?x?－f?x?4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0，则不
x2等式x2f(x)>0的解集是__(－1,0)∪(1，＋∞)__.导学号 84624254
f?x?
[解析] 令g(x)＝(x≠0)，
xxf ′?x?－f?x?
∵x>0时，>0，
x2∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上g(x)>0的解集为(1，＋∞)，∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上g(x)<0的解集为(－1,0)，由x2f(x)>0得f(x)>0，∴f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
三、解答题
k
5．设函数f(x)＝ex－x2－x.导学号 84624255
2(1)若k＝0，求f(x)的最小值；
B．(－∞，0)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．
[解析] (1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f ′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f(x)的最小值为f(0)＝1.
1
(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R.
2
∴f ′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1， 由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增， 由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴g(x)min＝g(0)＝0，即f ′(x)min＝0，故f ′(x)≥0. 所以f(x)在R上单调递增．
a
6．(2016·德州高二检测)已知函数f(x)＝x－2lnx－＋1，g(x)＝ex(2lnx－
xx).导学号 84624256
(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围； (2)求g(x)的最大值．
2a
[解析] (1)由题意得x＞0，f ′(x)＝1－＋2. xx由函数f(x)在定义域上是增函数得，f ′(x)≥0， 即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1(x＞0)． 因为－(x－1)2＋1≤1(当x＝1时，取等号)， 所以a的取值范围是[1，＋∞)． 2?(2)g′(x)＝ex??x－1＋2lnx－x?， 2
由(1)得a＝2时，f(x)＝x－2lnx－＋1，
x因为f(x)在定义域上是增函数，又f(1)＝0，
所以，当x∈(0,1)时，f(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0. 所以，当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0. 故x＝1时，g(x)取得最大值g(1)＝－e.
C级 能力拔高
(2016·天津卷)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.导学号 84624257 (Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝0； 1(Ⅲ)设a＞0，函数g(x)＝|f(x)|，求证：g(x)在区间[－1,1]上的最大值不小于.
4
[解析] (Ⅰ)由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a. 下面分两种情况讨论：
(1)当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． (2)当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝
3a3a，或x＝－. 33
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，－＋ 单调递增 3a) 3－3a 30 极大值 (－3a3，) 33－ 单调递减 3a 30 极小值 (3a，＋∞) 3＋ 单调递增 所以f(x)的单调递减区间为(－∞)．
3a3a3a3a，)，单调递增区间为(－∞，－)，(，＋3333(Ⅱ)证明：因为f(x)存在极值点，所以由(Ⅰ)知a>0，且x0≠0，由题意，得f′(x0)＝3x20
a
－a＝0，即x20＝， 3
2a
进而f(x0)＝x3x－b. 0－ax0－b＝－30又f(－2x0)＝－8x30＋2ax0－b＝－
8a2a
x0＋2ax0－b＝－x0－b＝f(x0)，且－2x0≠x0，由题33
意及(Ⅰ)知，存在唯一实数x1满足f(x1)＝f(x0)，且x1≠x0，因此x1＝－2x0.所以x1＋2x0＝0.
(Ⅲ)设g(x)在区间[－1,1]上最大值为M，max{x，y}表示x，y两数的最大值．下面分三种情况讨论：
(1)当a≥3时，－
3a3a
≤－1<1≤，由(Ⅰ)知，f(x)在区间[－1,1]上单调递减，所以f(x)33
在区间[－1,1]上的取值范围为[f(1)，f(－1)]，因此
M＝max{|f(1)|，|f(－1)|} ＝max{|1－a－b|，|－1＋a－b|} ＝max{|a－1＋b|，|a－1－b|}
??a－1＋b，b≥0
＝?， ?a－1－b，b<0?
所以M＝a－1＋|b|≥2.
323a3a3a23a(2)当≤a<3时，－≤－1<－<<1≤，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知，
4333323a3a23af(－1)≥f(－)＝f()，f(1)≤f() 333＝f(－
3a)， 3
所以f(x)在区间[－1,1]上的取值范围为[f(M＝max{|f(
3a3a)|，|f(－)|} 33
3a3a)，f(－)]，因此 33
2a2a
＝max{|－3a－b|，|3a－b)|}
992a2a
＝max{|3a＋b|，|3a－b)|}
99＝
2a
3a＋|b| 9
313×＝. 44
23≥××94
323a23a
(3)当0 43323a3a f(－1) 3323a3a f(1)>f()＝f(－)， 33 所以f(x)在区间[－1,1]上的取值范围为[f(－1)，f(1)]，因此 M＝max{|f(－1)|，|f(1)|}， ＝max{|－1＋a－b|，|1－a－b|} ＝max{|1－a＋b|，|1－a－b|} 1 ＝1－a＋|b|>. 4 1 综上所述，当a>0时， g(x)在区间[－1,1]上的最大值不小于. 4
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