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余数问题
知识精讲
一、带余除法的定义及性质
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a
＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:
这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
二、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。
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2.余数的乘法定理
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a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|(a－b)
【例1】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．
【解析】 因为1992是a的46倍还多r,得到1992?46?43......14，得1992?46?43?14，
经典例题
所以a?43，r?14．
【例2】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．
【解析】 (法1)因为 甲?乙?11?32，所以 甲?乙?乙?11?32?乙?乙?12?32?1088； 【解析】 则乙?(1088?32)?12?88 ，甲?1088?乙?1000．
【解析】 (法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以
后，1056就应当是乙数的(11?1)倍，所以得到乙数?1056?12?88，甲数
?1088?88?1000．
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【例3】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题
---即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两 位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.
【例4】有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为
2113，则被除数是多少？
【解析】 被除数?除数?商?余数?被除数?除数+17+13=2113，所以被除数?除数
=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968。
【例5】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?
48?5?9.6知，48?4?12【解析】 由48?4?12，一组是10或11人．同理可知48?3?16，
知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．
【例6】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数． 【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13?6?78，并且小于13?(6?1)?91；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为
78?5?83．
【例7】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.
【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得
的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的
101?45?56，59?45?14，任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．
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(56,14)?14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。
【例8】 22003与20032的和除以7的余数是________．
【解析】 找规律．用7除2，2，2，2，2，2，…的余数分别是2，4，1，2，4，
234561，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003?23?667?2，所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，
2与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以2003除以7余1．故2
【例9】求2461?135?6047?11的余数．
2003与2003的和除以7的余数是4?1?5．
2【解析】 因为2461?11?223...8，135?11?12...3，6047?11?549...8，根据同余定理(三)，
2461?135?6047?11的余数等于8?3?8?11的余数，而8?3?8?192， 192?11?17...5，所以2461?135?6047?11的余数为5．
【例10】 求31997的最后两位数．
【解析】 即考虑319973除以100的余数．由于100?4?25，由于3?27除以25余2，所以
39除以25余8，
3除以25余24，那么3除以25余1；又因为3除以4余1，则3除以4余1；即
320?1能被4 和25整除，而4与25互质，所以320?1能被100整除，即320除以100余
1020220
1，由于1997?20?99?17，所以31997176除以100的余数即等于3除以100的余数，而3?72917625175除以100余29，3?243除以100余43，3?(3)?3，所以3除以100的余数等于
29?29?43除以100的余数，而29?29?43?36163除以100余63，所以31997除以100余
63，即3
1997的最后两位数为63．
【例11】22008?20082除以7的余数是多少？
23?8除以7的余数为1，2008?3?669?1，所以2【解析】
2008?23?669＋1?(23)669?2，其
2669除以7的余数为：1?2?2；2008除以7的余数为6，则2008除以7的余数
等于6除以7的余数，为1；所以2
22008?20082除以7的余数为：2?1?3．
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