20.（本小题满分5分） 解：（1）证明：∵ 矩形ABCD，
∴ AD∥BC.
∴ ∠CED =∠ADE.
又∵点G是DF的中点， ∴ AG=DG.
∴ ∠DAG =∠ADE.
∴ ∠CED =∠DAG. …………………………2分
(2) ∵ ∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG， ∴ ∠AED=∠AGE.
∴ AE=AG. ∵ AG=4， ∴ AE=4.
在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=15.
∴ sin?AEB? 21．（本小题满分5分）
AB15. …………………………5分 ?AE4解：（1）证明：连结OC ．
∵ OE⊥AC，
∴ AE=CE ． ∴ FA=FC． ∴ ∠FAC=∠FCA．
∵ OA=OC， ∴ ∠OAC=∠OCA．
∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA． 即∠FAO=∠FCO ．
∵ FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，
∴ FA⊥AB．
∴ ∠FCO=∠FAO=90°．
∴ PC是⊙O的切线． ………………………………………………… 2分 （2）∵∠PCO=90°， 即∠ACO +∠ACP =90°. 又∵∠BCO+∠ACO =90°，
∴ ∠ACP=∠BCO. ∵ BO=CO， ∴ ∠BCO=∠B. ∴ ∠ACP=∠B. ∵ ∠P公共角， ∴ △PCA∽△PBC .
∴
PCPAAC??. PBPCBCAC1=. BC2 ∵ AP∶PC=1∶2， ∴
∵ ∠AEO=∠ACB=90°，
∴ OF∥BC.
∴ ?AOF??ABC. ∴ tan?AOF?tan?ABC?∴ tan?AOF?∵ AB=4， ∴ AO=2 . ∴ AF=1 .
∴ CF=1 . ………………5分
22．（本小题满分5分）
解： （1）拼接成的四边形所图虚线所示； ………………2分 （2）8?23 ； 8?47. …………………………5分
（注：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条
1. 2AF1?. AO2边的长度等于原来菱形的边AB=4，左右两边的长等于线段MN的长，当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（3+4）=8?23；当点E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于27，此时，这个四边形的周长最大，其值为8?47.）
五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解：(1)证明： Δ=（m?3)2?4(m?1) =m2?6m?9?4m?4 =m2?2m?5 =(m?1)?4．
∵ (m?1)≥0， ∴ (m?1)?4＞0．
∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2） 解关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，
222?m?3?(m?1)2?4得 x?. ………………3分
2要使原方程的根是整数，必须使得(m?1)?4是完全平方数. 设(m?1)?4?a， 则(a?m?1)(a?m?1)?4.
∵ a+m?1和a?m?1的奇偶性相同， 可得?222?a?m?1?2,?a?m?1??2,或?
?a?m?1?2.?a?m?1??2.解得??a?2,?a??2,或?. ………………5分
?m??1.?m??1.?m?3?(m?1)2?4 将m=-1代入x?，得
2x1??2,x2?0符合题意. ………………6分
∴ 当m=-1 时 ，原方程的根是整数. ……………7分
24. （本小题满分7分）
解：（1）猜想的结论：MN=AM+CN ． （2）猜想的结论：MN=CN-AM． 证明: 在 NC截取 CF= AM，连接BF． ∵ ∠ABC+∠ADC=180°， ∴ ∠DAB+∠C=180°． 又∵ ∠DAB+∠MAB=180°， ∴ ∠MAB=∠C． ∵ AB=BC AM=CF， ∴ △AMB≌△CFB ． ∴ ∠ABM=∠CBF ， BM=BF． ∴ ∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF．即 ∠MBF =∠ABC． ∵ ∠MBN=12∠ABC， ∴∠MBN=12∠MBF． 即∠MBN=∠NBF． 又∵ BN=BN BM=BF， ∴ △MBN≌△FBN． ……………1分 ……………3分
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