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新人教版初中数学中考总复习
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
中考冲刺：创新、开放与探究型问题—知识讲解（提高）
【中考展望】
所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．
由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．
【方法点拨】
由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
【典型例题】 类型一、探索规律
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1．（2015?武汉校级二模）如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（ ）次操作．
A．7 B．6 D．4 【思路点拨】
先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可． 【答案】D.
【解析】解：△ABC与△A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2， ∵△ABC面积为1， ∴S△A1B1B=2．
同理可得，S△C1B1C=2，S△AA1C=2，
∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7； 同理可证△A2B2C2的面积=7×△A1B1C1的面积=49， 第三次操作后的面积为7×49=343， 第四次操作后的面积为7×343=2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过4次操作． 故选D．
【总结升华】
考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可． 举一反三：
【变式】（2016?抚顺）如图，△A1A2A3，△A4A5A5，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为 .
C．5
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【答案与解析】
解：∵△A1A2A3为等边三角形，边长为2，点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，
∴A3的坐标为（0，
∵2016÷3=672，
∴A2016是第672个等边三角形的第3个顶点， ∴点A2016的坐标为（0，×即点A2016的坐标为（0，4483）； 故答案为：（0，4483）． 类型二、条件开放型、结论开放型
2．在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）． （1）若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标： ； （2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标： .
【思路点拨】
（1）首先由BC在x轴上，在等腰△ABC中，即可过顶点A作AD⊥BC交BC于D，根据三线合一的性质，可得BD=CD，即B，C关于点D对称，则可求得满足条件的点B、点C的坐标； （2）连接OA，由等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2），易证得△AOB≌△AOC，则可知OB=OC，继而可得满足条件的点B、点C的坐标． 【答案与解析】
解：（1）∵BC在x轴上，在等腰△ABC中，过顶点A作AD⊥BC交BC于D， ∵顶点A的坐标为（2，2）， ∴D的坐标为（2，0）， 在等腰△ABC中，有BD=CD， ∴B，C关于点D对称，
∴一组满足条件的点B、点C的坐标为：B（0，0），C（4，0）；
3），
3），
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（2）连接OA，
∵等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）， ∴∠AOC=∠AOB=45°， ∴当OB=OC时，
?OB=OC?在△AOB与△AOC中，??AOB=?AOC
?OA=OA?∴△AOB≌△AOC， ∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形，
∴一组满足条件的点B、点C的坐标：（0，1），（1，0）． 【总结升华】
此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2，2)．
(1)若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：________________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(n，0)，你认为m，n应满足怎样的条件？
(2)若底边BC的两个端点分别在x轴，y轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：______________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(0，n)，你认为m，n应满足怎样的条件? 【答案】
解：可以通过等腰三角形的作法来探求符合题意的条件：由于AB＝AC，故点B和点C在以A为圆心的同一个圆上．
(1)如图(a)，作AE⊥x轴于E，以大于AE的长度为半径画弧，与x轴的交点即为符合题意的点B和点C．易知E(2，0)为线段BC的中点，故CE＝EB，即n－2＝2－m；如：点B(0，0)，点C(4，0)；m+n＝4且m
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