中考数学人教版专题复习：相似三角形
一、教学内容
相似三角形和三角形相似的条件 1. 了解相似三角形、相似比的含义．
2. 掌握两个三角形相似的判断条件，并能够运用三角形相似的判断方法解决一些简单的问题．
二、知识要点
1. 相似三角形
（1）相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形． （2）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比．
（3）表示方法：用符号“∽”来表示相似，读作“相似于”．如图所示，△ABC和△A’B’C’相似，记作“△ABC∽△A’B’C’”，读作“△ABC相似于△A’B’C’”．
C'CABA'B'
说明：
（1）这个定义告诉我们：①如果两个三角形的角对应相等、边对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例．
（2）相似比是有顺序的．例如：若△ABC∽△A’B’C’，相似比为k，则△A’B’C’∽△ABC，1那么相似比为k．
2. 三角形相似的条件
（1）如果两个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
1
例如：如图所示，若∠A＝∠A’，∠B＝∠B’，则△ABC∽△A’B’C’； 若∠A＝∠A’，∠C＝∠C’，则△ABC∽△A’B’C’； 若∠C＝∠C’，∠B＝∠B’，则△ABC∽△A’B’C’．
说明：只要有两对角对应相等，这两个三角形就相似．“对应”不一定非得是“A对A’，B对B’，C对C’”．
C'CABA'B'
（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
ABBC
例如：如上图所示，若A’B’＝B’C’，∠B＝∠B’，则△ABC∽△A’B’C’； BCCA
若B’C’＝C’A’，∠C＝∠C’，则△ABC∽△A’B’C’； ABAC
若A’B’＝A’C’，∠A＝∠A’，则△ABC∽△A’B’C’． （3）三边对应成比例的两个三角形相似．
ABBCCA
例如：如上图所示，若A’B’＝B’C’＝C’A’，则△ABC∽△A’B’C’．
三、重点难点
本讲重点是相似三角形的定义和三角形相似的条件，难点是应用三角形相似的三个条件解决一些问题．
【典型例题】
例1. 如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，当∠1＝__________，∠2＝__________AC
时，或AB＝__________＝__________时，△ADC∽△ACB．
2
AD21CB
分析：要使△ADC∽△ACB，根据相似三角形的定义，三组对应角分别相等，三组对应边成比例，由图可知，∠A为公共角，∠1的顶点与∠ACB的顶点重合．∴点A与点A对应，点ACADDC
C与点B对应，点D与点C对应，∴∠1＝∠B，∠2＝∠ACB，AB＝AC＝CB． ADDC
解：∠B，∠ACB，AC，CB
评析：在找对应边、对应角时，应先观察图形，找出图形中的条件，如公共角、公共边等，再找出对应顶点、对应边和对应角．在写相似表达式时，应尽量把对应顶点的字母写在对应的位置上．
例2. （1）若△AED∽△ABC，AD＝6cm，AC＝12cm，则△AED与△ABC的相似比为__________．
（2）有一个三角形的三边长为2、3、4，若另一个和它相似的三角形的最短边长为8，则第二个三角形的周长为__________．
分析：（1）相似三角形的相似比就是其对应边的比．∵△AED∽△ABC，∴边AD与AC对应．∴AD61相似比为AC＝12＝2．（2）由题意知，要求周长，应知道三边长，两个三角形相似，则对应边成比例，这里的对应指大边对大边，小边对小边，题目中给出的第二个三角形的最短边长2是8，因此应找出第一个三角形的最短边与之对应，这条对应边长应为2，所以相似比为8＝1341，设另两边长分别为x、y，则4x＝y＝4，解得x＝12，y＝16，∴第二个三角形的周长为8＋12＋16＝36． 1解：（1）2（2）36
评析：（1）①求相似比时要注意顺序，哪个三角形在前，它的对应边就作为比的前项．②相似比实际上反映的是一个图形的放大或缩小，相似比大于1，说明图形被放大；相似比小于1，说明图形被缩小；相似比等于1，说明两个图形全等．③若△ABC与△A'B'C'的相似比为
3
1
k，则△A'B'C'与△ABC的相似比为k．（2）找两个相似三角形的对应边、对应角的方法有两种：①如果给出相似表达式，就先找对应顶点，再找对应边、对应角．②如果已知对应角，那么对应角所对的边就是对应边；如果已知对应边，那么对应边所对的角就是对应角．找两个相似三角形的对应边还有一个原则：大边对大边，小边对小边．
例3. 如图所示，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似的三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
AEBCFGD
分析：由AD∥BG，可得∠DAE＝∠G，∠ADB＝∠DBG，可推出△AED∽△GEB，同理可推出△AFD∽△GFC；由AB∥DC可得到△AEB∽△FED和△ABG∽△FCG，由相似图形的传递性，知△GAB∽△AFD，又△ABD∽△CDB，∴图中共有6对相似三角形，故正确答案为D． 解：D
评析：充分利用题目中的条件，如平行、垂直等推出相等的角，如公共角，对顶角等．
例4. 如图所示，BC平分∠ABD，AB＝4，BD＝5，当BC＝__________时，△ABC∽△CBD．
ACBD
分析：因为BC平分∠ABD，所以得到∠ABC＝∠CBD，又题目中给出的条件是边，所以要使ABBC△ABC∽△CBD，只要两边对应成比例且夹角相等即可，所以只需BC＝BD，即BC2＝AB·BD．又AB＝4，BD＝5，所以BC2＝4×5＝20，所以BC＝25． 解：25
4
例5. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线． （1）△ABC和△BCD相似吗？ （2）试说明AD2＝DC·AC； （3）若AC＝5＋1，求BC的长．
ADBC
分析：有一个角为36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，故∠CBD＝36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．
解：（1）因为∠A＝36°，AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝72°．
又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD＝36°． 所以AD＝BD＝BC，所以△ABC∽△BCD． BCCD
（2）因为△ABC∽△BCD，所以AB＝BC，
所以BC2＝AB·CD，即AD2＝AC·CD．
（3）由AD2＝AC·CD，得D为线段AC的黄金分割点，
所以AD＝
5－15－1
·AC＝（5＋1）＝2， 22·
而BC＝AD，故BC＝2．
?另一对等角
评析：识别三角形相似的思路：①有一对等角，找? ；②有两边对应
?等角的两边对应成比例?夹角相等
成比例，找? ；③直角三角形，找一对锐角相等；④等腰三角形，找
第三边成比例?
5
相关推荐：
loading