2021年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数
与幂函数理
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) ?4ac－b，＋∞? ?4a????b?2?－∞，4ac－b? ?4a????b?2单调性 在x∈?－∞，－?上单调递减； 2a??在x∈?－，＋∞?上单调递增 ?2a?在x∈?－∞，－?上单调递增； 2a??在x∈?－，＋∞?上单调递减 ?2a??b??b?对称性 2.幂函数 函数的图象关于x＝－对称 2ab(1)定义：形如y＝x的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较
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(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1,1)；
③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4ac－b(1)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( × )
4a2
2
(2)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × )
(3)在y＝ax＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )
(4)函数是幂函数．( × )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (6)当n<0时，幂函数y＝x是定义域上的减函数．( × )
n2
2
12
1．若关于x的方程x＋mx＋＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
4答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
12
解析 ∵方程x＋mx＋＝0有两个不相等的实数根，
4122
∴Δ＝m－4××1>0，即m>1，解得m<－1或m>1.
4
2．已知函数f(x)＝ax＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是______________．
2
?1?答案 ?，＋∞? ?20?
??a>0，解析 由题意知?
?Δ<0，?
??a>0，
即?
?1－20a<0，?
1
得a>. 20
3．函数的图象是________．(填序号)
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答案 ②
解析 显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，当x＞1时，.故只有②符合．
4．已知函数y＝x－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________． 答案 [1,2]
解析 如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]．
2
5．(教材改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点?2，区间________上递减．
??2?
?，则此函数的解析式为________；在2?
答案 y＝x (0，＋∞)
?12
题型一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解 方法一 (利用一般式)： 设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)． 4a＋2b＋c＝－1，??a－b＋c＝－1，
由题意得?
4ac－b??4a＝8，
2
2
2
a＝－4，??
解得?b＝4，
??c＝7.
∴所求二次函数为f(x)＝－4x＋4x＋7. 方法二 (利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)＋n.
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2
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