2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷
理科数学(十二) 【p307】
(排列与组合、二项式定理、概率) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．为美化环境，从黄、白、红、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率为( )
1152A. B. C. D. 2363
【解析】从黄、白、红、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有C2红色和紫色的花在同一花坛有2种基本事件数，4＝6种基本事件，
42
所以红色和紫色的花不在同一花坛有6－2＝4种基本事件数，因此概率为＝.
63
【答案】D
2．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为( )
A．6 B．12 C．24 D．36
2
【解析】甲和另一个人一起分到A班有C1甲一个人分到A班的方法有：3A2＝6种分法，22
C3A2＝6种分法，共有12种分法．
【答案】B
123
3．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的．如图，将
234
T2，T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是( )
1123117A. B. C. D. 2424432
【解析】记T1正常工作为事件A，记T2正常工作为事件B，记T3正常工作为事件C，123
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，电路不发生故障，则满足T1正常工作，T2，T3至少有一个
234正常工作，
则T2，T3至少有一个正常工作，概率为
23111－?×?1－?＝， P1＝1－P(BC)＝1－??3??4?12
11111
则电路不发生故障的概率P＝×＝.
21224
【答案】A
1?n?4.x＋的展开式中所有奇数项系数之和为1 024，则展开式中各项系数的最大值是x??
( )
A．790 B．680 C．462 D．330
【解析】由题意可得：2n－1＝1 024，解得n＝11.
656
则展开式中各项系数的最大值是C511或C11，则C11＝C11＝462.
【答案】C 5．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是( )
1233A. B. C. D. 5575
【解析】男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B，
11
C＋C44＋1C21596则：P(A)＝3＝3，P(AB)＝＝3， 3C7C7C7C7
P（AB）3
由条件概率公式可得：P(B|A)＝＝. P（A）5【答案】D
31→→→→，－?，6．已知A(2，1)，B(1，－2)，C?动点P(a，b)满足0≤OP·OA≤2，且0≤OP·OB5??51
≤2，则点P到点C的距离大于的概率为( )
4ππ55
A．1－π B.π C．1－ D.
64641616
→→
【解析】∵OP·OA＝2a＋b， →→OP·OB＝a－2b，
→→又0≤OP·OA≤2，
→→且0≤OP·OB≤2，
??0≤2a＋b≤2，∴?其表示的区域如图阴影部分所示，点C在阴影区域内，且到各边界的??0≤a－2b≤2，
1距离大于.
4
25
又|OM|＝，
5
∴所求概率P＝
?25?－π?1??4??5?
?25??5?
2
22
5＝1－π.
64
【答案】A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)
512??－2x的展开式中常数项是________． 7.
?x?5r－555－r112??r【解析】?－2x?的展开式的通项为Tr＋1＝Cr·(－2x2)r＝(－1)rCr55·2·x2，?x??x?
1
当r＝1时，Tr＋1为常数项，即T2＝－C5·2＝－10.
【答案】－10
8．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两个球颜色不同的概率为__________．(用分数作答)
452010
【解析】由题意可知，甲袋取出红球，乙袋取出白球的概率P1＝×＝＝，
663618
2121
甲袋取出白球，乙袋取出红球的概率P2＝×＝＝，
663618
11
据此可得取出的两个球颜色不同的概率P＝P1＋P2＝.
18
11
【答案】
18
9．某仪表内装有m个同样的电子元件，有一个损坏时，这个仪表就不能工作．如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是p，则这个仪表不能工作的概率是__________．
【解析】设电子元件损坏的个数为X，则X～B(m，p)，
0
则这个仪表不能工作的概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Cm(1－p)m＝1－(1－p)m.
【答案】1－(1－p)m
10．某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足，仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为________．(用数字作答)
1
【解析】分类讨论：甲选包子，则有2人选同一种主食，方法为C24C3＝18，剩下2人
选其余主食，方法为A22＝2，共有方法18×2＝36种；
甲不选包子，其余4人中1人选包子，方法为4种，甲选花卷或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3A22＝6种；
2若没有人选甲选的主食，方法为C23A2＝6，共有4×2×(6＋6)＝96种，
故共有36＋96＝132种． 【答案】132
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回的依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回的依次抽取2个的事件数为nΩ＝A26＝30，
11根据分步计数原理n(A)＝A4A5＝20，
n(A)202
于是P(A)＝＝＝.
303Ωn
()
()
n(AB)12211
(2)因为n(AB)＝A2＝＝. 4＝12＝C4C3＝12，于是P(AB)＝305Ωn
()
(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)P(AB)3＝＝. P(A)5
12．(16分)如图，圆O的半径为2，点A，B，C，D，E是圆O的六等分点中的五个点．
(1)从A，B，C，D，E中随机取三点构成三角形，求这三点构成的三角形是直角三角形的概率；
(2)在圆O上随机取一点P，求△PAC的面积大于23的概率．
【解析】(1)从A，B，C，D，E中随机取三点，构成的三角形共10个：△ABC，△BCD，△ACE，△ADB，△ADC，△ADE，△BEA，△BEC，△BED，△CDE，
记事件M为“从A，B，C，D，E中随机取三点，这三点构成的三角形是直角三角形”； 由题意可知以A，B，C，D，E为端点的线段中，只有AD，BE是圆O的直径， 所以事件M包含以下6个基本事件：△ADB，△ADC，△ADE，△BEA，△BEC，△BED，
63
所以所求的概率为P(M)＝＝.
105(2)在Rt△ACD中，AD＝4，∠ACD＝90°，
︵
由题意知CD是60°弧，其所对的圆周角∠CAD＝30°； 所以CD＝2，AC＝42－22＝23；
当△PAC的面积大于23时，设点P到AC的距离为d，
1
则有S△PAC＝AC·d＝3d>23，即d＞2；
2由题意知四边形ACDF是矩形，
所以AC∥DF，且AC与DF之间的距离为2，
︵
所以点P在DEF上(不包括点D、F)；
︵
DEF的弧长1
故所求的概率为P(N)＝＝. 圆O的周长3
13．(18分)为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务．已知有脚踏自行车A与电动自行车B两种车型，采用分段计费的方式租用．A型车每30分钟收费5元(不足30分钟的部分按30分钟计算)，B型车每30分钟收费10元(不足30分钟的部分按30分钟计算)，现有甲、乙、丙、丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行(各租一车
4321
一次)，设甲、乙、丙、丁不超过30分钟还车的概率分别为，，，，并且四个人每人租5432
车都不会超过60分钟，甲、乙、丙均租用A型车，丁租用B型车．
(1)求甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为25元的概率；
(2)求甲、乙、丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；
(3)设甲、乙、丙丁四人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布和数学期望．
【解析】(1)记“甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为25元”为事件A，即4人均不
超过30分钟，
43211
则P(A)＝···＝.
54325
111
(2)由题意，甲、乙、丙、丁在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为，，，
5431， 2
设“甲、乙、丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件B，
13214121431113
则P(B)＝···＋···＋···＝.
54325432543260
(3)①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量ξ的值为25，即为事件A，由(1)所以1P(A)＝.
5
②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件C，事件C又分成两种情况，“超过30分钟的这个人是甲、乙、丙中的一个”和“超过30分钟的这个人是丁”，分别将上述两种情况记为事件C1和C2.
13214121431113ⅰ.事件C1对应的ξ的值为30，此时P(C1)＝···＋···＋···＝；
5432543254326043211
ⅱ.事件C1对应的ξ的值为35，此时P(C2)＝···＝.
54325③记“4人中恰有两人超过30分钟”为事件D，事件D又分成两种情况，“超过30分钟的两人是甲、乙、丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲、乙、丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件D1和D2.
1121131141113ⅰ.事件D1对应的ξ的值为35，此时P(D1)＝···＋···＋···＝；
5432543254324013214121431113
ⅱ.事件D2对应的ξ的值为40，此时P(D2)＝···＋···＋···＝.
54325432543260④记“4人中恰有三人超过30分钟”为事件E，事件E又分成两种情况，“超过30分钟的三人是甲、乙、丙”和“超过30分钟的三人是甲、乙、丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件E1和E2.
11111
ⅰ.事件E1对应的ξ的值为40，此时P(E1)＝···＝；
5432120
1121131141113
ⅱ.事件E2对应的ξ的值为45，此时P(E2)＝···＋···＋···＝.
54325432543240⑤记“4人均超过30分钟”为事件F，则随机变量ξ的值为50，
11111
此时P(F)＝···＝；
5432120综上，随机变量ξ的所有取值为25，30，35，40，45，50，且
1
P(ξ＝25)＝P(A)＝；
513
P(ξ＝30)＝P(C1)＝；
60
1311
P(ξ＝35)＝P(C2)＋P(D1)＝＋＝；
540401319
P(ξ＝40)＝P(D2)＋P(E1)＝＋＝；
601204031
P(ξ＝45)＝P(E2)＝；P(ξ＝50)＝P(F)＝；
40120
所以甲、乙、丙、丁四人所付费用之和的分布列为
ξ 25 30 35 40 45 50 11311931P 56040404012011311931407所以E(ξ)＝25×＋30×＋35×＋40×＋45×＋50×＝.
56040404012012
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