2017科技特长班招生数学答案2017.4.26

座位号2017年科技特长班招生

数学素质测试试题参考答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题8分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号答案123456

BC

8、10

ACA

9、D

23

二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

7、10310、?2

11、112、3?1

三．解答题（本题共3小题，每小题18分，共54分）答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13、（满分18分）解：（1）作CE?x轴于E，则CE?1。由sin?BAC?∴2555，sin?ABC?知，CA?，CB?5，552

1

，EB?2，2

3

0)，点B坐标为(1，∴点A坐标为(?，0)，………6分2

3

设所求二次函数的解析式为y?m(x?)(x?1)；2

EA?

（第13题图）将点C(?1，?1)的坐标代入二次函数解析式，得?1?m(?1?)(?1?1)，∴313

m?1，二次函数得解析式为y?(x?)(x?1)，即y?x2?x?；222

………12分3

2

（2）由（1）知，AB?

∴∴5222，AB?CA?CB，2

51

AB?2。42

……………………18分CA?CB。△ABC外接圆的半径R?

14、（满分18分）（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径,∴?ADB?90?，∴?ABD??BAD?90?，∵AC是⊙O的切线，∴?BAC?90?，∴?CAD??BAD?90?,∴?ABD??CAE，∵?ABD??BDO??CDE,∴?CAD??CDE，可得△CDE∽△CAD；（2）由△CDE∽△CAD有（第14题图）……………………6分

CDCA①?DEADAEAB又有△ADE∽△BDA,有②?DEDA由①、②及AB?AC,得AE?CD，在Rt△OAC中，OA2?AC2?OC2，……………………12分

5?1m，2mm即()2?m2?(?CD)2，解方程并取正根得CD?225?1m。∴AE?215、（满分18分）解：方程化为x?2018x?2017y?0，2

2

……………………18分

将方程视为x的方程，得△?2018?4?2017y?4(1009?2017y)为完全平方数。∴……………………6分2222

10092?2017y2为完全平方数，2

2

2

2

2

2

设1009?2017y?t（t为非负整数），则1009?t?2017y，∴∵∴(1009?t)(1009?t)?2017y2。2017为质数，2017(1009?t)，或2017(1009?t)。……………………12分又t为非负整数，且t?1009，∴t?1009，或t?1008，∴y?0（舍去），或y?1，2

将y?1代入方程，得x?2018x?2017?0，解得x?1，或x?1017，?x?1?x?2017

∴原方程的正整数解为?，或?。……………………18分y?1y?1??