直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用

直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用

x2y23+?1的长轴两端点为双曲线E的焦点，【例1】已知椭圆且双曲线E的离心率为. 972（1）求双曲线E的标准方程；

（2）若斜率为1的直线l交双曲线E于A,B两点，线段AB的中点的横坐标为42，求直线l的方程.

yF1F2x

x2y2【例2】已知双曲线C： 2?2?1（a?0,b?0）的离心率为5，虚轴长为4．

ab（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点?0,1?，倾斜角为450的直线l与双曲线C相交于A,B两点， O为坐标原点，求

?OAB的面积．

yAF2BOF1x

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x2y2【例3】已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2，离心率为；

ab圆M：x2?y2?Dx?2?0过椭圆C的三个顶点.过点F2且斜率不为0的直线与椭圆C交于P，Q两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在x轴上存在定点，使得APAQ为定值；并求出该定点的坐标.

yPF1F2Ax Q

【例4】已知离心率为6的椭圆C的一个焦点坐标为?2,0. 3??（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点P?0,2?的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求PE?PF的取值范围.

yPEF11F2Fx

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【例5】已知抛物线C:y?2x2和直线l:y?kx?1， O为坐标原点．

(1)求证： l与C必有两交点；

(2)设l与C交于A,B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．

yAF01Bx

x2y26【例6】已知椭圆C: 2?2?1(a?0,b?0)的离心率为,右焦点为(2,0).

3ab(1)求椭圆C的方程;

(2)若过原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值. （能否把 “定点” “定值”提前测试出来？？？？）

yAF11BF2x

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x2y2【例7】已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为

ab2?1，最小距离为2?1.

（1）求椭圆的方程； （2）过点S?0,??的动直线l交椭圆C于A,B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q?若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. ??1?3?yAF1y两圆的公共点，定点SBF21xF11B SF2xA 4 4