19.(14分)已知椭圆C:正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程; (3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:
20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x-x(a≥0). (1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;
6
2
=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的
为定值.
(2)已知e为自然对数的底数,证明:?n∈N, ##
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1.A 解析 ∵A=[-1,2],B=(0,4),
* ∴A∩B=(0,2].故选A. 2.B 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y=2px,得y+2py-2p=0, 解得y1=-p+,x1=1+p-2 2 2 2 ,y2=-p-2 2 ,x2=1+p+, 由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)-(p+2p)]+[p-(p+2p)]=0,化简得2p=1, 2 从而A2 ,OB=2 ,B,OA=,△OAB的面积S==5-|OA||OB|=故选B. =5+2 3.C 解析 ∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数. ∴g(-log25.1)=g(log25.1). ∵奇函数f(x)在R上是增函数, ∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0. 7 ∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立, ∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数. ∵2 结合函数g(x)的性质得b ∵S底=(1+2)×2=3,h=2, ∴V=Sh=3×2=6. 5.B 解析 由题意得,输出的S为数列 的前3项和,而 ,即 Sn=故当输入n=3时,S3=,故选B. 6.A 解析 设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则 由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,,e=1+7.C 解析 ∵f(1)=e=1, 1-12 =0,即=1, e=故选A. ∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1, ∴a=-若a∈[0,+∞),则e=1, a-1 ∴a=1.因此a=1或a=-8.D 解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110, 则|a+b+c|+|a+b+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1. 而a+b+c=100+100+110=200+110>100,故选项A不成立; 选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a+b+c|+|a+b-c|=0<1. 而a+b+c=100+100+0>100,故选项B不成立; 选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c|+|a+b-c|=0<1. 而a+b+c=100+100+0>100,故选项C不成立;故选D. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9.2 解析 (1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2. 8 10.-40 解析 (2x-1)的展开式的通项为Tr+1=(2x)(-1)=(-1) 根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x项的系数为(-1)11.3(2-)π 解析 ∵AO1=2 3 55-rrr2x. 2=-2 5-3 2 5-r5-r=-40. R1,C1O2=,R1+R2=R2,O1O2=R1+R2, ,球O1和O2的表面积之和为 )π. ∴( 4π( +1)(R1+R2)=)≥4π·2 =2π(R1+R2)2=3(2-+1=0,展开得2 12.2 解析 ∵4ρcos2 cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为 x+2y+1=0. ∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ, ∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1. ∴圆心到直线的距离d=∴直线与圆相交. ∴直线与圆公共点的个数为2. 13.1 解析 由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2), 的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为kPA==1. 14.②③ 解析 由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又 ,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知 BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③. 9 15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2 , 故sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,整理得17cos2 B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B= (2)由cos B=得sin B=, 故S△ABC=acsin B=ac. 又S△ABC=2,则ac= 由余弦定理及a+c=6得 b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B) =36-2 =4. 所以b=2. 16.解 (1)由已知a* n=2an-1-n+2(n≥2,n∈N)得a2=4,a3=7. an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)]. =2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1, ∴{an-n}是以1为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)得an-1 n-n=(a1-1)·2, 即an-1 n=2+n,∴bn==1+ 设cn=,且前n项和为Tn, 则Tn=+…+, ① 10
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